Специальные идеалы

если любая последовательность Ii С I2 С … левых (соответственно, правых) идеалов, где Im = In при m = n,
конечна.
Кольца с условием обрыва убывающих цепей левых (правых) идеалов называют еще артиновыми слева (справа);
кольца с условием обрыва возрастающих цепей левых (правых) идеалов — нетеровыми слева (справа).
Идеал I кольца R называется примитивным справа, если I — наибольший идеал, содержащийся в некотором
максимальном правом идеале.
Кольцо называется примитивным (справа), если примитивен его нулевой идеал. Из правой примитивности не
следует левая, но, тем не менее, иногда прилагательное «правый» опускается.
Кольцо называется полупримитивным (справа), если пересечение его примитивных справа идеалов равно 0. Полу-
примитивные слева кольца определяются симметрично. Правая полупримитивность кольца эквивалентна его левой
полупримитивности (15.78).
Идеал I = R кольца R называется первичным, если для любых идеалов A и B кольца R из включения AB С I
следует, что либо A С I, либо B С I (в коммутативном кольце такой идеал называется простым).
Пересечение всех первичных идеалов кольца R называется его первичным радикалом и обозначается rad R.
Элемент a E R называется строго нильпотентным, если все члены последовательности ao, ai,… такой, что ao = a,
-п+1 E anRan, начиная с некоторого номера равны нулю. Строго нильпотентный элемент является нильпотентным.
Если кольцо коммутативно, то каждый его нильпотентный элемент строго нильпотентен.
Первичный радикал совпадает с множеством всех строго нильпотентных элементов кольца.
Пересечение всех максимальных правых, эквивалентно — левых (см. 13.58), идеалов кольца R называется радикалом
Джекобсона J(R) кольца R.
Кольцо R называется полупервичным, если 0 — его единственный нильпотентный идеал. В этом случае говорят,
что R не имеет нильпотентных идеалов. Кольцо R называется первичным, если произведение двух ненулевых его
идеалов является ненулевым идеалом. Коммутативное кольцо первично тогда и только тогда, когда оно является
областью целостности. Первичное кольцо полупервично.
Кольцо R называется локальным, если в R есть единственный максимальный левый идеал, или, равносильно, в R
есть единственный максимальный правый идеал (см. 13.60).
В упражнениях, касающихся простых идеалов, кольца предполагаются коммутативными. Если M — множество,
то под кольцом R = P(M) понимается кольцо (P(M), /\, П).

Задачи

13.1. Образуют ли идеал необратимые элементы колец:
а) Z; б) C[x]; в) R[x]; г) Zn?
Найдите максимальные идеалы в этих кольцах.
13.2. Пусть R — кольцо непрерывных функций на отрезке [0,1], Ic = {f (x) E R \ f (c) = 0} (0 ^ c ^ 1). Докажите,
что:
а) Ic — максимальный идеал в R;
б) всякий максимальный идеал кольца R совпадает с Ic для некоторого c.
13.3. В коммутативной области главных идеалов простыми идеалами являются те, которые порождаются простыми
(см. § 14) элементами кольца, причем каждый ненулевой простой идеал максимален.
13.4. Каждый собственный (правый) идеал кольца содержится в максимальном собственном (правом) идеале.
13.5. 1) Идеал (p) кольца Zp« является нильпотентным индекса нильпотентности n.
2) Если A — идеал кольца R, то A/An — нильпотентный идеал кольца R/An индекса нильпотентности ^ n.
3) Если A и B — нильпотентные идеалы индекса нильпотентности n и m соответственно, то A + B — нильпо-
тентный идеал индекса нильпотентности ^ n + m.
13.6. Если идеалы A i (i E I) нильпотентны, то:
а) идеал A i является ниль-идеалом;
iei
б) если множество I конечно, то идеал A i нильпотентен.
iei
13.7. Если I — минимальный правый идеал кольца R, то либо I = eR для некоторого идемпотента e E R, либо
I2 = 0.
13.8. Пусть R — коммутативное кольцо. Докажите, что:
а) минимальный идеал I в R всегда главный и I2 = 0 или I2 = I;

78 Специальные идеалы.

б) если R — кольцо без ненулевых нильпотентных элементов, то всякий его минимальный идеал порождается
идемпотентом;
в) если I — минимальный идеал, порожденный идемпотентом, то кольцо I является полем.
13.9. Собственный идеал I коммутативного кольца R максимален в точности тогда, когда для любого r E R \ I
найдется x E R со свойством 1 — rx E I.
13.10. В коммутативном кольце R собственный идеал P прост тогда и только тогда, когда для любых элементов
a, b E R таких, что ab E P, справедливо хотя бы одно из включений a E P или b E P.
13.11. Факторкольцо R/I коммутативного кольца является полем (соответственно, областью), если и только если
I — максимальный (соответственно, простой) идеал в R.
Максимальный идеал коммутативного кольца является простым.
13.12. 1) Нулевой идеал максимален в коммутативном кольце тогда и только тогда, когда это кольцо есть поле.
2) Центр простого кольца является полем.
13.13. Приведите пример коммутативного кольца без единицы, в котором нулевой идеал максимален, однако кольцо
полем не является.
13.14. Идеал P коммутативного кольца R простой тогда и только тогда, когда P — ядро гомоморфизма из R в
некоторое поле.
Пусть R — коммутативное кольцо с 1 и T С R — такое подмножество, что xy E T при x,y E T. Подмножество с
таким свойством называется мультипликативно замкнутым.
13.15. 1) Если 1 E T, 0 E/ T и T — мультипликативно замкнутое подмножество коммутативного кольца R, то
любой идеал P, максимальный среди идеалов, не пересекающихся с T, прост.
2) Идеал P прост тогда и только тогда, когда множество R\P мультипликативно замкнуто.
3) Элемент x E R нильпотентен тогда и только тогда, когда он лежит во всяком простом идеале кольца R, т.е.
множество нильпотентных элементов кольца R совпадает с пересечением всех простых идеалов этого кольца.
13.16. Если I — максимальный идеал в Z[x], то Z[x]/I — конечное поле.
Для элемента a кольца R (с единицей или без единицы) введем следующие обозначения: Ra = {ra \ r E R}, aR =
{ar \ r E R} и RaR = { ^ riasi \ ri,si E R,n E N}.
i=i
13.17. Ra, aR и RaR — соответственно, левый, правый и двусторонний идеалы кольца R.
13.18. Пусть R — кольцо с единицей и a E R. Тогда:
а) левый идеал Ra является главным левым идеалом, порожденным элементом a;
б) правый идеал aR является главным правым идеалом, порожденным элементом a;
в) идеал RaR является главным идеалом, порожденным элементом a.
13.19. Приведите такие примеры кольца R без единицы и элемента a, чтобы:
а) левый идеал Ra не совпадал с главным левым идеалом, порожденным элементом a;
б) правый идеал aR не совпадал с главным правым идеалом, порожденным элементом a.
13.20. Приведите пример кольца R без единицы такого, чтобы R не являлся главным идеалом.
13.21. Главный идеал коммутативного кольца, порожденный необратимым элементом, является собственным. Приведите
такой пример кольца R без единицы и необратимого элемента a E R, что главный идеал (a) совпадает с R.
13.22. Покажите, что идеал I кольца R является главным:
а) I = {0, 3, 6, 9}, R = Zi2;
{/ 0 0 a \1 {/ 0 a b \1
б) I = Л 0 0 0 |, a E Z; R = Л 0 0 c |, a,b,c E R; И 0 0 °/ И 0 0 °/
в) I = {0, {1}, {3}, {1,3}}, R = P ({1, 2, 3}).
13.23. Какие элементы входят в главный правый идеал aR, если:
1 —1 0 1 0 0
а) a = I 0 0 0 |, R = M (3, R); б) a = I —1 0 0 |, R = M (3, R);
\000/ V, 0 0 0 /
в) a = {0, 2, 4}, R = P ({0, 1, 2, 3, 4, 5}).
13.24. Сколько элементов содержит главный идеал aZ24 кольца Z24, если:
а) a = 5; б) a = 6?

79 Специальные идеалы.

13.25. Проверьте равенство главных идеалов, порожденных элементами a и b кольца R:
а) a = 4, b =1, R = Z15;
б) a = 2x + 1, b = 4x + 2, R = R[x];
в) a = 6/7, b = 2, R = Q2.
13.26. Проверьте, что каждый конечно порожденный идеал кольца 2м является главным.
В следующих упражнениях 13.27 — 13.32 покажите, что идеал I кольца R не является главным.
13.27. I состоит из конечных подмножеств бесконечного множества M, R = 2м.
13.28. I состоит из функций, обращающихся в нуль вне некоторого (для каждой функции своего) отрезка, R = RR.
13.29. I состоит из последовательностей, в которых лишь конечное число ненулевых элементов, R = RN.
13.30. R = Z[\/5i] = {mi + n\/5 i \ m, n € Z}, I = (a, b), a = 3, b = 1 + 2\/5i.
13.31. R = Т [[x]], I = J + (x), где J — нетривиальный идеал кольца Т.
13.32. R = Z[x], I = (2) + (x).
13.33. Пусть R — кольцо A и такое его подкольцо, что [x, a] = xa — ax € A для любых x € R и a € A. Тогда если
a,b € A, то R(ab — ba)R С A.
13.34. Если D — тело, то для каждого f € DX существует идемпотент e € DX такой, что (f) = (e).
13.35. Если e — идемпотент кольца R, то для главных правых идеалов Ii = eR, I2 = (1 — e) R справедливы
соотношения: Ii П I2 = 0, Ii + I2 = R.
13.36. Пусть e — центральный идемпотент кольца R. Докажите, что:
а) 1 — e — также центральный идемпотент кольца R, ортогональный к e;
б) eR — идеал кольца R и в то же время eR — кольцо с единицей e;
в) R является прямой суммой идеалов: R = eR 0 (1 — e) R.
13.37. Следующие утверждения эквивалентны:
а) кольцо R изоморфно прямой сумме колец Ri (i = 1, . . . , п);
б) существуют ортогональные идемпотенты ei € Z (R) со свойствами ei +… + en = 1 и R = eiR 0… 0 enR, причем
кольца eiR и Ri изоморфны (i = 1, . . . , п);
в) кольцо R является прямой суммой идеалов R = Ii 0 … 0 In, причем кольца Ii и Ri изоморфны.
13.38. Найдите все идеалы кольца:
а) Z; б) P[x], где P — поле.
13.39. Кольцо многочленов K[x] является коммутативной областью главных идеалов в точности тогда, когда K —
поле.
13.40. Покажите, что R — коммутативное кольцо главных идеалов:
а) R = 2м, если M — конечное множество;
б) R = P [[x]], где P — некоторое поле;
в) R — кольцо целых р-адических чисел Zp.
13.41. Покажите, что кольцо R не является кольцом главных идеалов:
а) R = Z[x]; б) R = RR;
в) R = 2м, если M — бесконечное множество (см. 13.27).
13.42. Покажите, что в кольце R идеал I максимален:
а) R = Z, I = 3Z;
б) R = Z14, I = {0, 7};
в) R = 2r, I = {A С R \ 0 € A};
г) R = Q(2), I =(12);
д) R = M(2, Z), I = M(2,2Z);
е) R = P [x] (P — некоторое поле), I = (x).
13.43. Идеал (4) не максимален в кольце Q2.
13.44. Найдите все максимальные идеалы кольца Z36.
13.45. Матрицы вида 0a b0 (соответственно, 0
0 b
a ) образуют максимальный правый (соответственно,
левый) идеал кольца M (2, R).

80 Специальные идеалы.

13.46. Кольцо матриц M(2,P) над бесконечным полем P содержит бесконечное множество минимальных правых
идеалов.
13.47. Идеал кольца 2м, состоящий из конечных подмножеств бесконечного множества M, не является максимальным
в 2м.
13.48. Какие идеалы максимальны в Z 0 Z?
13.49. Максимальный идеал кольца 2м, содержащий все конечные подмножества бесконечного множества M, не
является главным (ср. с 13.27).
13.50. Идеал I кольца P[x] над полем P максимален тогда и только тогда, когда он имеет вид I = (f(x)), где:
а) если P = C, то f(x) — многочлен первой степени;
б) если P = R, то f (x) — многочлен первой степени или многочлен второй степени, не имеющий вещественных
корней.
13.51. Для каждого максимального (соответственно, простого) идеала I кольца R идеал {ao + aix +… + anxn \ ao €
I} будет максимальным (соответственно, простым) идеалом в R[x].
В упражнениях 13.52 — 13.57 R обозначает кольцо, a — элемент кольца R.
13.52. При каком условии для максимального правого идеала M кольца R выполняется соотношение 1 €/ aR + M?
13.53. Используя упражнение 13.52, покажите, что элемент 1 — ax будет обратим справа для любого x € R тогда
и только тогда, когда a лежит в пересечении всех максимальных правых идеалов.
13.54. Пусть r,s € R таковы, что (1 — ar) s = 1. Найдите t € R, для которого (1 — ra) t = 1.
13.55. Используя упражнение 13.54, покажите, что если элемент 1 — ar обратим справа для любого r € R, то и
элемент 1 — ra обратим справа для любого r € R.
13.56. Используя упражнения 13.53 и 13.55, покажите, что пересечение J(R) всех максимальных правых идеалов
кольца R есть двусторонний идеал.
13.57. Используя упражнение 13.53 и обратимость 1 — a для каждого нильпотентного элемента a, покажите, что
каждый нильпотентный идеал содержится в пересечении всех максимальных правых идеалов.
13.58. Используя упражнения 13.52 — 13.56, покажите, что пересечение всех максимальных правых идеалов J(R)
кольца R совпадает с пересечением всех максимальных левых идеалов.
13.59. Используя упражнения 13.52 — 13.56, покажите, что многочлен с коэффициентами из коммутативного кольца
лежит в пересечении всех максимальных идеалов тогда и только тогда, когда он нильпотентен.
13.60. Следующие утверждения о кольце R эквивалентны:
а) R — локальное кольцо;
б) для любого элемента r € R либо r, либо 1 — r — обратимый слева элемент;
в) для любого элемента r € R либо r, либо 1 — r — обратимый элемент;
г) множество необратимых элементов I кольца R замкнуто относительно сложения;
д) все необратимые элементы кольца R образуют идеал;
е) все необратимые элементы кольца R лежат в некотором собственном идеале;
ж) все необратимые элементы кольца R образуют единственный максимальный левый идеал.
Утверждение остается справедливым, если б) и ж) заменить на их правые аналоги.
13.61. Покажите, что кольцо R локально, и укажите максимальные идеалы:
а) R = P [[x]], где P — некоторое поле;
б) R = Zpn, где р — простое число, п > 1;
в) R = Qp;
г) R — кольцо целых р-адических чисел.
13.62. Для любого коммутативного кольца R существует локальное кольцо L и вложение R в L.
13.63. Факторкольцо локального кольца локально.
13.64. Покажите, что кольцо R не локально:
а) R = Z; б) R = Zg;
в) R = P [x] для любого поля P;
г) R = Z [[x]].
13.65. Покажите, что в кольце R идеал I является простым:
а) R = Z, I = (р) (р — простое число);

81 Специальные идеалы.

б) R = Zn, I = (p), где n > 1 и p делит n;
в) R = R[x], I = (x);
г) R = Rr, I = (x + 1);
д) R = R[x], I = (x2 + 1);
е) R = 2M, где M = {1, 2,3,4}, I = {A С M \ 3 E A};
ж) R = R 0 R, I = {(a, 0) \ a E R};
з) R = Z[x], I = (2) + (x).
13.66. Покажите, что идеал I не является простым в кольце R:
а) R = C[x], I = (x2 + 1);
б) R = R[x], I = (x2 — 1);
в) R = 2M, где M = {0,1, 2,3,4}, I = {A С M \ 1, 3 E A};
г) R = 2M, где M — бесконечное множество, I — идеал, состоящий из конечных подмножеств (см. 13.47).
13.67. Доказано, что если каждый элемент кольца удовлетворяет уравнению xn = x (n ^ 2, n для каждого x свое),
то кольцо является коммутативным. Используя этот факт, покажите, что любой простой идеал P в этом кольце
максимален.
13.68. В булевом кольце каждый простой идеал максимален.
13.69. Коммутативное кольцо содержит единственный простой идеал тогда и только тогда, когда каждый необратимый
элемент нильпотентен.
13.70. В коммутативном кольце множество всех делителей нуля содержит простой идеал.
13.71. Если идеал содержится в конечном объединении простых идеалов, то он содержится в одном из них.
13.72. Частично упорядоченное множество простых идеалов кольца содержит минимальные элементы.
13.73. Идеал (4)+(x) кольца Z[x] не прост и не является произведением простых идеалов.
В упражнениях 13.74 — 13.76 R обозначает коммутативное кольцо; Spec (R) — множество простых идеалов кольца
R (спектр R); если A — подмножество в R, то Г (A) = {P E Spec (R) \ A ^ P}.
13.74. r(R) = Spec (R), Г (0) = 0. А для A С R можно записать Г (A) = [J Г (a).
aeA
13.75. Если Ai (i E I) — некоторое семейство идеалов кольца R, то [J T(Ai) = Г (^ Ai).
iei iei
13.76. Если a,b E R и A, B — идеалы кольца R, то T(a) П Г(Ь) = Г (ab), Г (A) П Г (B) = Г (AB).
13.77. Кольцо Z нетерово, но не артиново.
13.78. Пусть f: R S — сюръективный кольцевой гомоморфизм. Тогда если R — артиново (нетерово) справа
кольцо, то кольцо S также артиново (нетерово) справа.
13.79. Подкольцо артинова (нетерова) кольца не обязательно артиново (нетерово).
13.80. 1) Кольцо главных правых идеалов нетерово справа.
2) Нетерова справа область целостности является правым кольцом Оре.
13.81. Кольцо R нетерово и артиново справа в точности тогда, когда в R найдется конечная цепочка правых
идеалов 0 = Io С Ii С … С In = R таких, что каждый идеал Ij максимален в Ij+i, j =0,1,… ,n — 1.
13.82. Кольцо всех матриц вида ^ a ^ , где a E Z, b,c E Q, нетерово справа, но не слева. (В связи с 17.14
/ Z Q \/ Q Q \ ф )
заметим, что кольца I 0 q ) и I 0 z I антиизоморфны.)
13.83. Пусть R и K — поля, причем R — бесконечное расширение K (например, R и Q), а S — кольцо всех матриц
вида ^ ^ ri ^J, где k E K, ri,r2 E R. Покажите, что S не является ни нетеровым, ни артиновым слева, но S —
артиново и нетерово справа кольцо.
13.84. В коммутативном нетеровом кольце каждый ниль-идеал нильпотентен (см. 16.29).
13.85. Пусть R — артиново слева кольцо. Предположим, что для каждого правого идеала I существует левый
идеал J такой, что I = r (J). Тогда R — нетерово справа кольцо.
13.86. Если в кольце R для каждого левого идеала I существует элемент x E R такой, что I = t (xR), и для каждого
правого идеала J существует левый идеал L такой, что J = r (L), то R артиново слева.
13.87. Пусть в кольце R для каждого левого идеала I существует конечное множество X и для каждого правого
идеала J существует конечное множество Y со свойством I = t (X), J = r (Y). Тогда R артиново слева и справа и

82 Специальные идеалы.

нетерово слева и справа.
13.88. В коммутативном артиновом кольце каждый простой идеал максимален (см. 16.29 и 16.33).
13.89. Коммутативная артинова область является полем.
13.90. Коммутативное артиново кольцо имеет лишь конечное число простых идеалов.

83 Специальные идеалы.