Тензорное произведение

Задачи

18.1. Покажите, что:
а) (a + a’) 0 b = a 0 b + a’ 0 b; б) a 0 (b + b’) = a 0 b + a 0 b’;
в) ar 0 b = a 0 rb; г) 0 0 b = a 0 0 = 0;
д) — (a 0 b) = (-a) 0 b = a 0 (—b);
е) n (a 0 b) = (na) 0 b = a 0 (nb), n € Z.
18.2. Если A С B и C С D — подмодули, то проверьте, что отображение a 0 c (€ A 0 C) — a 0 c (€ B 0 D)
индуцирует гомоморфизм f : A 0 C — B 0 D. Приведите пример, когда f — не мономорфизм.
18.3. Если R — коммутативное кольцо, A и B суть R-модули, то имеет место изоморфизм A 0r B = B 0r A, при
котором a 0 b отображается в b 0 a для всех a € A, b € B.
18.4. Если I — двусторонний идеал кольца R и р: I — R — вложение, то:
а) Р 0 1R/I = 0;
б) I 0r R/I = I/I2, в частности, I 0r R/I = 0 для I = I2.
18.5. Докажите следующие естественные изоморфизмы:
а) (A 0r B) 0s C = A 0r (B 0s C);
б) (0 Ai) 0R ( 0 Bj) = 0 (Ai 0R Bj).
iei jeJ iei,jeJ
18.6. Пусть даны модули Ar и rB. Тогда:
а) если 0 = £ ai 0 bi € A 0r B, то существуют такие конечно порожденные подмодули C С A, D С B, что ai € C,
bi € D и 0= £ ai 0 bi € C 0r D;
б) если G С A, H С B и 0 = ^ ai 0 bi € G 0r H, то 0 = ^ ai 0 bi € A 0r B.
18.7. Если каждый конечно порожденный подмодуль модуля M содержится в некотором плоском подмодуле, то сам
M является плоским.
18.8. 1) Абелева группа плоска в точности тогда, когда является группой без кручения.
2) Любой плоский модуль является модулем без кручения (последние определены в начале § 15).
3) Если R — коммутативная наследственная область, то R-модуль M является плоским тогда и только тогда,
когда M — модуль без кручения.
18.9. Пусть Ar — свободный R-модуль с базисом {xi | i € I}. Тогда каждый элемент из A 0r B представим в виде
конечной суммы ^ xi 0 bi, где элементы 0 = bi € B определены однозначно.

107 Тензорное произведение, плоские и регулярные модули.

18.10. Пусть R — коммутативное кольцо, Ал — свободный R-модуль с базисом xi,… , xm и лB — свободный R-
модуль с базисом zi,… ,Zn. Тогда А 0л B есть свободный R-модуль с базисом {xi 0 Zj\ i = 1,… ,m; j = 1,… , n}.
18.11. Пусть 0 — A — B — C — 0 — точная последовательность правых R-модулей. Тогда для всякого R-модуля
лМ индуцированная последовательность абелевых групп А 0 М — B 0 М — C 0 М — 0 точна.
18.12. Пусть даны модули Ал, лBs, Cs. Тогда можно определить гомоморфизм аддитивных групп
Ф(а,в,с) : Homs (А 0л B, C) — Нотл (A, Homs (B, C)), Ф(а,в,с) : f — f,
где f (a)(b) = f (a 0 b), a G A, b G B. Покажите, что Ф = Ф(а,в,С) является изоморфизмом. Как действует обратный
к нему изоморфизм?
18.13. Напомним, что если а: А — B, y : C — D — гомоморфизмы R-модулей, то Нот(а^) : в — Yва является
групповым гомоморфизмом Hom(а,Y) : Нотл (B,C) — Нотл (A, D).
Для любых гомоморфизмов £: А’л — Ал, л: л^з — лBs, п: Cs — CS диаграмма
Homs (А 0л B, C) Ф(——а> Homл (A, Homs (B,C))
Horn(£g>,u,n) j I Hom(£,Hom(,u,n))
Homs (А’ 0л B’, C’) ( ——— ) Homл (A’, Homs (B’, C’))
коммутативна.
18.14. Пусть Мл, соответственно, sМл, — категория правых R-модулей, соответственно, бимодулей, A — категория
Z-модулей (т.е. абелевых групп). Покажите, что:
а) тензорное произведение является функтором 0л : Мл х л М — A, ковариантным по обоим аргументам;
б) тензорное произведение является функтором 0л: sМл х лМт — sМт, ковариантным по обоим аргументам;
в) для каждого B G sMл
— 0s B: Ms — Мл и Homл (B, —) : Мл — Ms
образуют пару сопряженных функторов (о сопряженных функторах см. [17], [51]).
18.15. 1) Для любого левого идеала I кольца R отображение ^ ai 0 xi — ^ aixi задает канонический групповой
эпиморфизм hi: А 0л I — AI.
Если J — левый идеал кольца R, содержащий I, и j: I — J — естественное вложение, то hi = hj (1а 0 j).
2) Канонический групповой эпиморфизм h: А 0л R — А является изоморфизмом правого R-модуля А 0 R и модуля
Ал.
3) Модуль Ал является плоским тогда и только тогда, когда для любого левого идеала I кольца R канонический
групповой эпиморфизм А 0 I — AI является изоморфизмом.
18.16. Если Ал — свободный модуль с базисом {ei}iei, лB — модуль, то абелева группа А0л B изоморфна группе
0\i\B.
18.17. Если лMs — бимодуль над кольцами R и S, Ал — модуль, причем Ал и Ms являются свободными (проективными,
плоскими) модулями, то (А 0л М)s — свободный (проективный, плоский) модуль.
18.18. Для модуля лМ следующие условия эквивалентны:
а) лМ — плоский модуль;
б) для каждого конечно порожденного правого идеала I С R с вложением р: ^ — Rл гомоморфизм р 0 1м является
мономорфизмом;
в) модуль Мл = Homz(M, Q/Z) инъективен.
18.19. Все прямые суммы и прямые слагаемые плоских модулей являются плоскими.
18.20. Проективные модули являются плоскими.
18.21. Пусть лМ — плоский модуль, U — его подмодуль, I — правый идеал в R и р: I — R — вложение.
Следующие условия эквивалентны:
а) р 0 1m/u : I 0л (M/U) — R 0л (M/U) — мономорфизм;
б) U П IM = IU.
18.22. Пусть лМ — плоский модуль, U — его подмодуль. Следующие условия эквивалентны:
а) фактормодуль М/U плосок;
б) U П IM = IU для каждого конечно порожденного правого идеала I С R.
18.23. Если модуль лP проективен, U С J (P) и фактормодуль P/U плосок, то U = 0.
18.24. Пусть R и S — кольца, P — проективный правый R-модуль и Q — R-S-бимодуль, являющийся проективным
S-модулем. Тогда P 0л Q — проективный S-модуль.

108 Тензорное произведение, плоские и регулярные модули.

В частности, если R — коммутативное кольцо, то тензорное произведение двух проективных R-модулей — проективный
R-модуль.
18.25. Над коммутативным кольцом тензорное произведение двух плоских модулей является плоским модулем.
18.26. Пусть R — коммутативная область, в которой каждый конечно порожденный идеал является главным, т.е.
R — кольцо Безу. Тогда левый модуль M является плоским в том и только в том случае, когда M — модуль без
кручения.
18.27. Модуль M является регулярным в точности тогда, когда каждый его конечно порожденный подмодуль есть
прямое слагаемое в M.
В упражнениях 18.28 — 18.31 S — кольцо эндоморфизмов модуля Mr, f € S и m € N. Докажите равносильность
указанных в них условий.
18.28. а) Существует такой g € S, что f = fgf, т.е. f — регулярный по фон Нейману элемент кольца S;
б) существуют такие идемпотенты ei,e2 € S и элемент g € S, что fg = ei, gf = е2 и f = eif = fe2
в) существует такой идемпотент e € S, что fS = eS;
г) fS — прямое слагаемое модуля Ss;
д) f (M) и Ker f — прямые слагаемые модуля M.
18.29. а) Существует такой g € S, что f = fgf и fg = gf;
б) существует такой g € S, что f = gf2 = f2g;
в) M = Im f 0 Ker f.
18.30. а) f = gfm и f = f mg для некоторого g € S;
б) M = Im fm 0 Ker fm.
18.31. а) S — регулярное кольцо;
б) для любого f € S подмодули Im f и Ker f являются прямыми слагаемыми модуля M;
в) пересечение любых двух конечно порожденных правых идеалов X и Y кольца S является циклическим прямым
слагаемым модуля Ss;
г) для любых таких f,v € S, что fS + vS = S, существует такое w € S, что fS П vwS = 0 и S = fS 0 vwS.
18.32. Для кольца R равносильны следующие условия:
а) R — регулярное кольцо;
б) Rr — регулярный модуль;
в) rR — регулярный модуль;
г) пересечение любых двух конечно порожденных правых идеалов кольца R и правый аннулятор любого элемента
кольца R являются циклическими прямыми слагаемыми модуля Rr;
д) пересечение любых двух конечно порожденных левых идеалов кольца R и левый аннулятор любого элемента
кольца R являются циклическими прямыми слагаемыми модуля rR;
е) для любого f € R существуют такие идемпотенты ei, e2 € R и элемент g € R, что fg = ei, gf = e2 и f = eif =
fe2;
ж) для любых f, g € R со свойством fR + gR = R существует такой h € R, что fR П ghR = 0 и R = fR 0 ghR.
18.33. 1) Тела и прямые произведения тел являются регулярными кольцами.
2) Классически полупростое кольцо регулярно.
з) Все факторкольца и прямые произведения регулярных колец являются регулярными кольцами.
4) Кольца эндоморфизмов полупростых модулей являются регулярными.
5) Если кольцо R регулярно, то регулярно кольцо матриц M (n, R) для каждого натурального n.
6) Для квазипроективного R-модуля M равносильны следующие условия:
а) EndR M — регулярное кольцо;
б) для любого f € EndR M подмодуль Im f является прямым слагаемым модуля M.
18.34. Если Qr — инъективный модуль, S = EndR Q, то факторкольцо S/J (S) регулярно.
18.35. Если R — регулярное кольцо, то каждый проективный R-модуль регулярен.
18.36. Кольцо R называется строго регулярным, если R удовлетворяет следующим равносильным условиям:
а) для любого a € R существует такой b € R, что a = a2b;
б) для любого a € R существует такой b € R, что a = ba2;

109 Тензорное произведение, плоские и регулярные модули.

в) каждый элемент кольца R является произведением центрального идемпотента и обратимого элемента;
г) R — регулярное редуцированное кольцо;
д) R — регулярное нормальное кольцо.
18.37. Пусть R — регулярное кольцо. Тогда:
а) для любого a € R найдется b € R со свойствами a = aba и b = bab (ср. с 2.55);
б) его центр Z(R) является регулярным кольцом;
в) I2 = I для любого правого или левого идеала I кольца R.
18.38. 1) Если все факторкольца кольца R не имеют ненулевых нильпотентных идеалов (т.е. являются полупер-
вичными), то решетка идеалов кольца R дистрибутивна и I = I2 для любого идеала I кольца R.
2) Если R — регулярное кольцо, то решетка идеалов кольца R дистрибутивна и I = I2 для любого правого или
левого идеала I кольца R.
3) Произведение любых двух идемпотентов кольца R является регулярным (по фон Нейману) элементом в точности
тогда, когда множество всех регулярных элементов кольца R мультипликативно замкнуто.
18.39. Пусть Mr — модуль, S = EndR M.
1) S — строго регулярное кольцо в точности тогда, когда M = f (M) 0 Ker f для любого f € S.
2) R — строго регулярное кольцо в точности тогда, когда R = aR 0 r(a) для каждого a € R.
3) В M сумма (соответственно, пересечение) любых двух прямых слагаемых снова есть прямое слагаемое модуля
M тогда и только тогда, когда Im (eie2) (соответственно, Ker(eie2)) — прямое слагаемое в M для любых двух
идемпотентов ei, e2 € S.
4) В M сумма и пересечение любых двух прямых слагаемых снова есть прямое слагаемое, т.е. множество всех прямых
слагаемых образует подрешетку в решетке всех подмодулей модуля M тогда и только тогда, когда множество
всех регулярных (по фон Нейману) элементов кольца S мультипликативно замкнуто, т.е. образует подполугруппу
в мультипликативной полугруппе кольца S.
5) Множество всех идемпотентов кольца S мультипликативно замкнуто тогда и только тогда, когда каждое прямое
слагаемое модуля M вполне инвариантно; последнее свойство согласно 15.93 равносильно тому, что S —нормальное
кольцо.
18.40. Для кольца R равносильны следующие условия:
а) R — регулярное кольцо;
6) для любого a € R модуль (R/aR^R является плоским;
в) все правые и все левые R-модули являются плоскими.
18.41. Пусть Mr — регулярный модуль. Докажите, что:
а) каждый подмодуль U модуля M является регулярным модулем со свойством J (U) = 0;
б) если P — вполне инвариантный подмодуль модуля M, то f (P) С P для всех f € HomR (P,M);
в) если P и T — вполне инвариантные подмодули модуля M и P = T, то P = T;
г) если H — конечно порожденный, а C — циклический подмодуль модуля M, то H + C = H 0 E для некоторого
циклического подмодуля E;
д) каждый конечно порожденный подмодуль модуля M является конечной прямой суммой циклических прямых
слагаемых модуля M;
е) каждый счетно порожденный подмодуль K модуля M является (счетной) прямой суммой циклических прямых
слагаемых модуля M;
ж) если M — прямое слагаемое прямой суммы счетно порожденных модулей, то M — прямая сумма циклических
регулярных модулей;
з) если M — проективный модуль, то M изоморфен прямой сумме циклических регулярных прямых слагаемых
модуля Rr и каждый счетно порожденный подмодуль K модуля M является проективным.
18.42. 1) Если Mr — прямое слагаемое прямой суммы проективных регулярных R-модулей Mi, то M — проективный
регулярный модуль, изоморфный прямой сумме циклических регулярных прямых слагаемых модуля Rr;
2) Если Mr — проективный модуль, а R — регулярное кольцо, то M — регулярный модуль, изоморфный прямой
сумме циклических регулярных прямых слагаемых модуля Rr, причем каждый счетно порожденный подмодуль
модуля M является проективным.
18.43. Для кольца R равносильны следующие условия:
а) R — регулярное кольцо;
б) для любого конечно порожденного проективного R-модуля Mr кольцо S = EndR M является регулярным;

110 Тензорное произведение, плоские и регулярные модули.

в) N П MI = NI для каждого подмодуля N любого модуля Мл и для любого левого идеала I кольца R.
18.44. Пусть G — конечная группа и R — кольцо. Групповое кольцо RG регулярно тогда и только тогда, когда R
регулярно и порядок группы G обратим в R.
18.45. Пусть e: S — R — гомоморфизм колец, B — правый, А — левый R-модули. Покажите, что отображение
образующих элементов b 0s a — b 0л a индуцирует эпиморфизм абелевых групп t: B 0s А — B 0л А (B и А
считаем, как в упражнении 15.10, притягивающими S-модулями).

111 Тензорное произведение, плоские и регулярные модули.