Громкоговорители

Громкоговорители

УРАВНЕНИЯ  ВТОРОЙ  СТЕПЕНИ

Текст просто для быстрого ознакомления с темой (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):

ЗАДАЧА
На площади установлено 5 громкоговорителей,
разбитых на две группы: в одной 2, в другой 3 аппа-
рата. Расстояние между группами 50 м. Где надо
стать, чтобы звуки обеих групп доносились с одина-*
ковой силой?
РЕШЕНИЕ
Если расстояние искомой точки от меньшей груп-
пы обозначим через х, то расстояние ее от большей

сила звука ослабевает пропорционально квадрату
расстояния, имеем уравнение
2 __ л-2
3 ~~ E0 — хJ ‘
которое после упрощения приводится к виду
х2 + 200*—5000 = 0,

140 Громкоговорители .

Решив его, получаем два корня:
л:1=22,5,
х2=— 222,5.
Положительный корень прямо отвечает на вопрос
задачи: точка равной слышимости расположена в
22,5 м от группы из двух громкоговорителей и, сле-
довательно, в 27,5 м от группы трех аппаратов.
Но что означает отрицательный корень уравнения?
Имеет ли он смысл?
Безусловно. Знак минус означает, что вторая точ-i
ка равной слышимости лежит в направлении, про-*
тивоположном тому, которое принято было за
положительное при составлении уравнения.
Отложив от местонахождения двух аппаратов в
требуемом направлении 222,5 м, найдем точку, куда
звуки обеих групп громкоговорителей доносятся с оди-
наковой силой. От группы из трех аппаратов точка
эта отстоит в 222,5 м+50 м=272,5 м.
Итак, нами разысканы две точки равной слыши-
мости — из тех, что лежат на прямой, соединяющей
источники звука. Других таких точек на этой линии
нет, но они имеются вне ее. Можно доказать, что гео-
метрическое место точек, удовлетворяющих требова-
нию нашей задачи, есть окружность, проведенная
через обе сейчас найденные точки, как через концы
диаметра. Окружность эта ограничивает, как вщнм,
довольно обширный участок (заштрихованный на чер-«
теже), внутри которого слышимость группы двух
громкоговорителей пересиливает слышимость группы
трех аппаратов, а за пределами этого круга наблки
дается обратное явление.

Алгебра лунного перелета

Точно таким же способом, каким мы нашли точки
равной слышимости двух систем громкоговорителей,
можно найти и точки равного притяжения космиче*
ской ракеты двумя небесными телами — Землей и
Луной. Разыщем эти точки.
По закону Ньютона, сила взаимного притяжения
двух тел прямо пропорциональна произведению
притягивающихся масс и обратно пропорциональна

141 Громкоговорители .

квадрату расстояния между ними. Если масса Земли М,
а расстояние ракеты от нее х, то сила, с какой Земля
притягивает каждый грамм массы ракеты, выразится
через
Mk
~’ ‘
где k — сила взаимного притяжения одного грамма
одним граммом на расстоянии в 1 см.
Сила, с какой Луна притягивает каждый грамм
ракеты в той же точке, равна
mk
{1-х? ‘
где т — масса Луны, а / — ее расстояние от Земли
(ракета предполагается находящейся между Землей
и Луной, на прямой линии, соединяющей их центры),
Задача требует, чтобы
Mk mk
~Ж ~~ A-хJ
или
М х2
Отношение —, как известно из астрономии, при*
ближенно равно 81,5; подставив, имеем:
откуда
80,5х2—163,0 1х+8\,Ы2 = 0.
Решив уравнение относительно х, получаем*.
Как и в задаче о громкоговорителях, мы прихо-*
дим к заключению, что на линии Земля — Луна су-
ществуют две искомые точки — две точки, где ракета
должна одинаково притягиваться обоими светилами;
одна на 0,9 расстояния между ними, считая от центра
Земли, другая — на 1,12 того же расстояния. Так как
расстояние / между центрами Земли и Луны
~384 000 км, то одна из искомых точек отстоит от
центра Земли на 346 000 км, другая — на 430 000 кмх

142 Громкоговорители .

Но мы знаем (см. предыдущую задачу), что тем
же свойством обладают и все точки окружности, про-
ходящей через найденные две точки как через концы
диаметра. Если будем вращать эту окружность около
линии, соединяющей центры Земли и Луны, то она
опишет шаровую поверхность, все точки которой бу-
дут удовлетворять требованиям задачи.

Диаметр этого шара, называемого сферой при-
тяжения (рис. 17) Луны, равен
1,12/—0,9/=0,22/~84 000 км.
Распространено ошибочное мнение, будто бы для
попадания ракетой в Луну достаточно попасть в ее
сферу притяжения. На первый взгляд кажется, что
если ракета очутится внутри сферы притяжения (об-
ладая не слишком значительной скоростью), то она
неизбежно должна будет упасть на поверхность Лу«
ны, так как сила лунного притяжения в этой области
«превозмогает» силу притяжения Земли. Если бы это
было так, то задача полета к Луне сильно облегчи-
лась бы, так как надо было бы целиться не в саму
Луну, поперечник которой виден на небе под углом
1/2°у а в шар диаметром 84 000 км, угловой размер ко*
торого равняется 12°.
Однако нетрудно показать ошибочность подобных
рассуждений.

143  Громкоговорители 

рывно теряющая свою скорость из-за земного притя-
жения, оказалась внутри сферы притяжения Луны,
имея нулевую скорость. Упадет ли она теперь на
Луну? Ни в коем случае!
«Во-первых, и внутри сферы притяжения Луны про-
должает действовать земное притяжение. Поэтому в
стороне от линии Земля — Луна сила притяжения
Луны не будет просто «превозмогать» силу притяже-
ния Земли, а сложится с ней по правилу параллело-
грамма сил и даст равнодействующую, направленную
отнюдь не прямо к Луне (только на линии Земля —¦
Луна эта равнодействующая была бы направлена
прямо к центру Луны).
Во-вторых (и это самое главное), сама Луна не
является неподвижной целью, и если мы хотим знать,
как будет двигаться по отношению к ней ракета (не
будет ли она на нее «падать»), то нужно учесть ско-
рость ракеты относительно Луны. А эта скорость
вовсе ие равна нулю, так как сама Луна движется во-
круг Земли со скоростью 1 км/сек. Поэтому скорость
движения ракеты относительно Луны слишком велика
для того, чтобы Луна могла притянуть к себе ракету
или хотя бы удержать ее в своей сфере притяжения
в качестве искусственного спутника-
Фактически притяжение Луны начинает оказывать
существенное влияние на движение ракеты еще до
того, как ракета приблизится к сфере притяжения
Луны. В небесной баллистике принято учитывать при-
тяжение Луны с момента, когда ракета окажется вну-
три так называемой сферы действия Луны
радиусом 66 000 км. При этом уже можно рассматри-
вать движение ракеты относительно Луны, полностью
забывая о земном притяжении, но точно учитывая ту
скорость (относительно Луны), с какой ракета входит
в сферу действия. Естественно поэтому, что ракету
приходится посылать к Луне по такой траектории,
чтобы скорость (относительно Луны) входа в сферу
действия была направлена прямо на Луну. Для этого
сфера действия Луны должна набегать на ракету,
движущуюся ей наперерез. Как видим, попадание в
Луну оказывается вовсе не столь простым делом, как
попадание в шар диаметром 84 000 км..

144 Громкоговорители

На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. 
Школьная математика.  Математика в школе.

Околоadmin