Преобразование подобия второго рода

Избранные в опросы теории преобразований подобия плоскости.
Преобразование подобия второго рода. § 6. Общие пары соответственных точек двух преобразований (часть 5).

З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова

Библиотека учителя математики.
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ.

Избранные в опросы теории преобразований подобия плоскости.

З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно в PDF формате «Сборник статей: Преподавание геометрии в 6-8 классах» на странице Учебники Скачать.

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

Преобразование подобия второго рода. § 6. Общие пары соответственных точек двух преобразований. (часть 5).

8. Преобразование подобия второго рода имеет две взаимно
перпендикулярные двойные прямые, проходящие через центр
подобия. 4 .
Если (Л; Лх) —пара точек, соответственных при преобразовании
подобия второго рода По.т, то одна из двойных прямых
делит отрезок АХА (считая от точки Лх) в отношении k внутренним
образом, а другая — в том же отношении внешним образом.
Одна задача на применение этого свойства’была решена в § 4
(см. п. 10, задача 3).
З а д а ч з 1 5 . В треугольнике ABC величина угла С равна
6 0 ° и [ А А Х ] , [ В В Х ] — высоты. Биссектриса угла С пересекает отрезки
АВ и А Х В Х в точках D и Dx. Найти отношение k — \ C D x | :
: \ C D | .
Р е ш е н и е . В треугольниках А С А Х и В С В Х имеем: \ А Х С | =
= 1 \АС\, |ВД =\\ВС\ (рис. 55).
Рассмотрим преобразование подобия второго рода с центром С,
двойной прямой CD и коэффициентом у. При этом преобразовании
А -> Ах, В Вх, [ А В \ -> [ А Х В Х ] , (CD)-> (C D X ). Следовательно,
точка D = ( C D ) f| [ А В ] отображается на точку D x — ( C D X ) f)
f) [ A X B X \ . А значит, \ C D X \ : \CD\ = .
З а д а ч а 1 6 . Даны два равносторонних противоположно ориентированных
треугольника ABC и А Х В Х С Х . Отрезки А А Х , В В Х и
С С Х \ А В Х , В С Х , С А Х , А С Х , В А Х , С В Х разделены в отношении
k = \ А В \ : \ А Х В Х | внутренним образом (считая от первых точек).
Доказать, что полученные тройки точек деления принадлежат
соответственно трем прямым, которые пересекаются в одной
точке.
Р е ш е н и е . Поскольку данные треугольники равносторонние
и противоположно ориентированы, то существуют /ри преобразования
подобия второго рода, при которых треугольник
А Х В Х С Х отображается на треугольник A B C . Точки А х , В х , С х
отображаются при одном преобразовании соответственно на Л,

222 Преобразование подобия второго рода.

В , С , при другом — на В , С , А , при третьем — на С , А , В.
Коэффициенты этих подобий равны k . При каждом из подобий
тройки точек деления принадлежат одной из двойных п р я м ы х
подобия. Каждой из этих прямых принадлежит и точка М , которая
делит в отношении k внутренним образом отрезок ООх,
где О и Ох — центры окружностей, описанных около треугольников
ABC и АхВхСх соответственно. Таким образом, тройки точек
принадлежат прямым, проходящим через точку М.

9. Композиция преобразований подобия есть преобразование
подобия.

Композиция двух преобразований подобия первого рода есть
преобразование подобия первого рода; его коэффициент равен
произведению коэффициентов данных подобий, а угол поворота —
сумме углов поворота данных подобий, т. е. П*^ о П’,ф= Пй,ф+*.
З а д а ч а 17. На сторонах треугольника ABC вне его построены
треугольники A B M , BCN и С А Р так, что AM В — 150°,
\ А М \ = \ М В \ , С А Р = C B N = 30° и АСР — BOJ = 45°. Доказать,
что треугольник MNP равносторонний (рис. 56).
Р е ш е н и е . Рассмотрим композицию / = Пд^ о 0 Rfa,
где ф = 150°, ф = 105°, k = ~=, п — У2. Коэффициенты и углы
поворота преобразований подобия в композиции определены
подобием треугольников РАС и N B C : А Р С — C N B = 105°,
\ Р С \ : \ Р А \ — sin 30°: sin 45° = -?L, |tfB|: |iVC| = |/2.
V 2
Складывая углы поворота и перемножая коэффициенты этих подобий,
находим, что f — перемещение первого рода с углом поворота
360° (0°), т. е. перенос. Но f ( В ) — В , и поэтому / — тождественное
преобразование.
Построим образ точки М при композиции / (рис. 57):
Rl ( М ) = М , (М) = D, TUf* (D) = М
(так как / — тождественное преобразование, то / (Л1) = М).

Преобразование подобия

223 Преобразование подобия второго рода.

Если \ P D \ — т , a \ D N \ = I , то \ Р М \ = тУ2, \ M N \ = / У 2 .
Треугольники D P M и D N M подобны друг другу и треугольнику
С Р А . Тогда P D M = N D M = 45° и P M D = N M D = 30°, P M N =
= 60°. При симметрии с осью ( D M ) лучи М Р и D P отображаются
соответственно на лучи M N и D N , и поэтому точка Р отображается
на точку N . Следовательно, \ М Р \ — \ M N \ и треугольник M N P
равносторонний.
Решение показывает, что величины 150°, 30°, 45° не столь существенны.
Важно выполнение следующих условий:
а) треугольник А В М равнобедренный; ‘ —
б) треугольники А С Р и B C N подобны;
в) сумма величин углов при вершинах М , Р и N в построенных
треугольниках равна 360°.
При этих условиях в результате приведенного решения найдем,
что \ М Р \ = \ M N \ и P M N = 2 Р А С .

224 Преобразование подобия второго рода.

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
Школьная математика.  Математика в школе.

Околоadmin