ПРОГРЕССИИ

Приме р 1 — Иэ геометрииизвестно.что сумма внутренних
углов выпуклого многоугольника, имеющего я сторон,
определяется по формуле .
S n = 2d(n — 2)-
здесь я может принимать лишь натуральные значения, т. е.
целые и положительные, начиная с я = 3, так как наименьшее
число сторон, многоугольника—-три.
Давая я значения: я 4, 5, 6 , 7, 8 , . . . , получим соответствующие
значения для суммы углов S n:
Sn = 2d, id , Ы, 8d, iOd, . . .
Пр име р 2. При отправке телеграммы взимается плата
в размере 3 коп. за каждое словОч Выразить формулой
стоимость телеграммы как функцию количества слов,’ содержащихся
вней. 1
‘ Очевидно, что если обозначим количество слов через я,
стоимость через 5, то имеем
■ S = Зя. . ■ ■
В приведенных двух примерах мы имели дело с функциями,
для которых допустимыми значениями аргумента
Являютбг только натуральные числа: 1 , 2 , 3, . . я, . . .
: В этих’случаях функция является функцией натурального
аргумента. Всякая такая функция называется последовательностью.
Приведем еще другие примеры последовательностей.

243 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 12. ПРОГРЕССИИ.

Пример 3. Если возвести каждое натуральное число
в квадрат, то получим последовательность квадратов натуральных
чисел: 1, 4, 9, 16…………»2, . . .
Приме р 4. Каждому натуральному числу можно сопоставить
обратное ему число; эти обратные числа образуют
последовательность
1 1 1 1 Г
1 ’ 2 ’ 3 * 4 .. п ‘
Приме р 5. При извлечении квадратного корня из
числа 2 с точностью до 1 , до 0 , 1 , до 0 ,0 1 и т. д. получается
последовательность приближенных значений У~2 по
недостатку: — 4
1; 1,4; 1.4Ц 1,414; . . .
Опр е д е л ение . Последовательностью называется
функция натурального аргумента. Значения этой функции
называются членами последовательности.
Каждому натуральному числу соответствует вполне.опре-
. деленное рначение этой функции, т. е. вполне определенный
член последовательности.. Последовательность может быть
задана формулой, определяющей каждый член последовательности
по номеру этого члена, например формула ■
П п2 + 1 .
определяет последовательность
1 2 3 2 /п _ ‘1 9 4 4 Л
2 * 5 * 10 * 1 7 ‘ *
В некоторых случаях последовательность задается не
формулой; это имеет место в приведенном выше примере. 5
при рассмотрении последовательности приближенных значений
квадратного корня из 2 с неограниченно возрастающей
точностью. Здесь формулу заменяет правило, по которому
находятся члены этой последовательности; это правило состоит
в том, что первый- член есть приближенное значение
V 2 по недостатку с точностью до 1 , второй — с точностью
до 0 , 1 , третий —с точностью до 0,01 и т. д. Вообщег л-Й
член последовательности есть приближенное значение У 2
по недостатку с точностью до .1
10»4-1

244 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 12. ПРОГРЕССИИ.

Последовательность называется возрастающей, если
каждый- следующий ее члеи большепредыдущего; таковы,
например,’последовательности ~
1, 4, 9. 16. . . . . п2, , . . .
1. 1.4, 1.41. 1.414, .. . .
1 2 • 3 4 п .
— 3 ’ 5 ‘ 7 ’ 9 ’ * • •• 2п + 1 ’ •••
Последовательность называется убывающей, если каждый
следующий ее член меньше предыдущего. Такими, например,
будут, последовательности
1 , 12 , з , _4L , ‘ • ±5 . . . . . 1п , . . . ,
— 1, — 10, — 100. — 1000……… — 10я-1, . . .
Последовательность
… 1. : — 3,, 5. — 7,. 9. . — 1 1 ,.,..
не является ни возрастающей, Ни убывающей.
Примечание . Число членов последовательности предполагается
неограниченным (бесконечным), т. е. за каждым
ее членом следуют другие.
Иногда при решении некоторых задач приходится рассматривать
последовательности с конечным числом членов;
например, если требуется найти сумму первых 20 четных
чисел натурального ряда, то в данном случае речь идет
о последовательности 2, 4, 6, .. . , 40, общий член которой
а„ = 2п (п — 1, 2, 3, . . . , 20).
Такие последовательности называются конечными (в отличие
от бесконечных).

§ 124. Арифметическая прогрессия

Рассмотрим следующие две последовательности:
4, 7, 10, 13. 16, . . . .
! 8, 3, —2. —7, —12____
Закон составления их один и тот ‘же; разность между
любым членом последовательности и ближайшим ему слева
(предыдущим) есть величина постоянная. В нервом примере
эта разность равна: 7 — 4 = 10 — 7 = . . . = 3; во втором
примере имеем 3 — 8 = —2 — 3 = —7 — (—2) = . . . = —5

245 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 12. ПРОГРЕССИИ.

Опр е д е л ение , Арифметической прогрессией называется
последовательность чисел, в которой каждый следующий
член получается из предыдущего прибавлением
к нему одного и того же числа, называемого разностью
прогрессии. Разность прогрессии обозначается буквой d;
следовательно, в первом примере d — 3\ во втором примере
d — —5. Члены арифметической арогрессии обозначаются
av а2, а3 и т. д.; в первом примере а 1 = 4; аг= 7;
в^вв’.Цв.'»
вели Ф > О, то прогрессий вазрастаквдаи, при rf < 3 —
убывающая. Чтобы показать» что данная последовательность
есть арифметическая прогрессия, ставят впереди нее знак -ь-,
например: -f-7, 9, М» 13, . . .
Если d ~ 0 , to m t чт ш регрессии равны между собой.
Изучение таких прогрессий интереса не представляет.

§ 125. Формула любого члена арифметической
прогрессии

По определению прогрессии имеем:
« 2 = •; ‘
“»f- d — ci [ ~ j.
* P4 === u3 —^ d a^ 3d. *
Можно подметить такую закономерность: чтобы получить
член арифметической прогрессии с номером k, надо прибавить
к первому члену разность ft, умноженную на число
членов^ вредшествующих определяемому:
oA = f l i — f ( f t — l ) r f ( 1)
(члену ак предшествуют (k — 1) членов). Но это пока наше
предноложение, справедливость равенства ( 1 ) еще не доказана.
Докажем, что если справедливо равенство (1), то справедливо
также и равенство
==«,-)- kd. (2 )
Действительно,
ик+х== ок —J— d = fli -j— (ft— 1 ) d —)— </■= 0 } —j— kdt ,
и справедливость равенства (2 ) доказана.

246 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 12. ПРОГРЕССИИ.

Непосредственно мы убедились в /том, что при ft = 2
и ft &3,формула ( 1 ) верна, тогда она по доказанному верна
талже прй ft = 4, а раз верна при ft = 4. то верна также
и при ft == 5 и вообще верна при любом k — n. Поэтому
an — a x-{-(jt— \)d .

§126. Среднее арифметическое

Пусть ai _l, ак, ак+1—три последовательных члена арифметической
прогрессии. Тогда по свойству, прогрессии имеем:
— e *+i—r<*»i
= ак — \4~ а *-н>
_ ak-l + ak+i .
■ ак ———— 2——- •
Полусумма двух чисел называется их средним арифметическим-,
следовательно, любой член арифметической
прогрессии (кроме первого) ест» среднее арифметическое
двух смежных с ним членов.
Приме р . Между числами 8 и 20 вставить 7 средних
арифметических. Это значит, что надо найти 7 таких чисел,,
которые вместе с данными числами 8 и 20 образовали бы
арифметическую прогрессию; первым членом этой прогрессии
является число ‘8 , 9-м —■ число 29v Имеем
а 9 = а, + 8d; 20==8 + 8rf. r f= I, 5 .
Искомая прогрессия:
-т- 8; 9,5; 11; 12,5; 14; 15,5; 17; 18,5; 20.
Этот пример можно обобщить: если нужно вставить ft
средних арифметических между числами а и ft. то имеем
’>—а .
По первому члену и разности й можно написать остальные
члены.

§ 127. Формула суммы первых я членов
арифметической прогрессии
Предварительно отметим, одно свойство арифметической
прогрессии с конечным числом членов.
Пусть имеем
* ! -*-2. 7. 12, 17. 22, 27, 32, 37.

247 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 12. ПРОГРЕССИИ.

Сложим члены, равноотстоящие т т ч я я ^м ,кт щ ^ ^ /ш с ст :
2 + 37 = 39; 7 — t-32 = 39; 12 + 27 = 39; 17 + 22 = 39; замечаем,
что сумма двух членов арифметической п р о грессии,
равноотстоящих от концов, равна сумме
крайних членов.
Так оно и должно быть: первые слагаемые этих сумм
(т. е. 2, 7, 12, 17) Возражаю* «а ‘бГ‘&й®’вт(»рыг слагаемые
(37, 32, 27, 22) убывают на 5; от этого сумма каждой пары
слагаемых остается, без изменения. • j
Перейдем к выводу формулы суммы первых п членов
арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через S n:
S n = «1+ ^2 + a 3 “f» • • • + ал -2+ ®Я- 1 + ап- (О
Если слагаемые в правой части равенства напишем в обратном
порядке, то сумма S n от этого не изменится:
5й = ‘в л + ~ л я_ 1 + а п_2 + • • • + аз + а 2Н~а 1- (2 ) ,
Сложим почленно равенства (1) и (2); получим
2 S„ = (a 1 + a e) + ( a 24 ‘ fl+ i)H ~ ( e3’if ’ e n-2M- • • i
. . . -{-(ая_2+ e3) + ( e „ _ l + a 2) + ( a „ + « i ) .
В каждой скобке имеем сумму двух членов, равноотстоящих
от концов прогрессии; следовательнр, все эти суммы в скоб?
ках равны между, собой и каждая из них равна сумме крайних
членов а 1 + ая; таких скобок всего л, т. е. столько,
сколько членов прогрессии. Поэтому имеем .
2S „= < e , + e e)-B;
. с (в|+Л»)« —
2
Сумма первых п членов арифметической прогрессии
равна полусумме крайних членов, умноженной на число
членов. —
Если воспользоваться выражением общего члена арифметической
прогрессии: а я = Л| + (л— 1 )d, то формуле суммы
можно придать другой вид: .
г> в !+ в | + (я—1)</
о я 2 ‘
О …. 2а, + (л— 1)4 _
л ————«§ ‘
Этой формулой удобно пользоваться, если нужно найти
число членов’прогрессии по данным ■<+ d н S n.

248 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 12. ПРОГРЕССИИ.

§ 128. Геометрическая иллюстрация суммы Sn

Дадим геометрический, вывод формулы суммы первых я
членов арифметической прогрессии.
Прежде всего заметим следующее: если основание прямоугольника
равно единице, то площадь, прямоугольника выражается^
тем же числом, что
и его высота.
Строим, а прямоугольников.
с высотами, равными
членам, арифметической прогрессии
(рис. 95); основа-
виг каждого прямоугольника-
равно единице; все
прямоугольники плотно, приставлены
друг к другу,
йолучим ступенчатую фигуру
(на чертеже заштрихована),
площадь ее численно
равна S n. Если к заштрихованной
фигуре пристроить
такую же фигуру,
ш перевернутую, то получится
прямоугольник Й$£®’ с основанием 2ЙГ = я, высотой
А В == Aj-jf- а„; площадь ступенчатой фигуры есть* половина
Рве. 9GL
прямоугольника, -в, е. $ а
§ 129. Примеры на применение формулы суммы S„
Пр име р 1. Найти сумму первых я чйсел натурального
ряда. Имеем: «j — f с „ = я г число членов также равно я;
по первой формуле суммы можно написать
(Лгвуя
— ?—
Пр име р 2. Найти сумму Ш членов ярогрессии:
-f- lit. 14» Щ. 6* .
В данном случае < /= 1 4— 18 а, = 18; я = 1 0 . По
второй формуле суммы имеем
оо. 2 — 1 8 9 * (-‘-4) ,№ п ,0 ——-—о • IV, о.10- : 0,

249 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 12. ПРОГРЕССИИ.

П р и м е р з . Четвертый «йен прогрессии в, девятый член
равен —6. Сколько нужно взять членов, чтобы сумма их
равнялась 54?
0д = —6, или c , + 8d = —-6
а4==9, или qt 4 ~ &/ = 9
5d — —15;
; d = —3; ■“ -•
9 = «i + 3 • (—3); I Г \
ej = 18.
По второй формуле суммы имеем
5 4 e 2 .1 8 + ( « — l ) — ( — j ) я.
108 = (36 —Зя 4-3) я;
.» . 36 = (13—я) я;
Я2 1 Зя 4 “ 36 = 0. : ■ .
Решая эю-4смиф]а^рё’’^раваете. находим
я, = 4; я2 = 9.
Оба ответа удовлетворят условию задачи, что обнаруживается
при проверке: г
-г-18, 15, 12. 9, 6. 3, 0, —3, —6; S4 = 54;
S9 — S4 -j- 0 = 54, так как сумма последних пяти членов
равна нулю. Такое, положение, очевидно, будет иметь место,
если прогрессия имеет члены, противоположные по знаку,
но равные по абсолютной величине.

250 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 12. ПРОГРЕССИИ.

§ 130. Сумма квадратов первых я чисел
натурального ряда

Обозначим сумму первых я чисел натурального ряда
через S,, а сумму их квадратов через S2, так что
51== 14-24- 34-4+ ….4-я;
^===124 — 2 2 4 -3 2 4 -4 2 4 — . , . 4 — ^ ^ п
Если в тождестве
(я 4 -1 )3— я3 = Зя2 4 — Зя 4 1

251

будем последовательно давать я значения 1 , 2 , 3, 4, . . . . л.
то получим
23— 18 = 3 . l2 — f 3 — 1 -+-I;
З3— 23= ]3 • 22 4 -3 • 2 + 1 ;
43 — 38=s3 • 32 4 -3 • 3 4 — 1;
53 — 48 = 3 — 424 — 3 — 44- 1;
я3— (я — 1)8 = 3 (я — 1)24 -3 (л — 1)4- 1;
(я4-.1)3 — я3==3я2 4 — Зя 4 1.
Складываем почленно эти равенства:
(я 4 I)3 — I3 = 3 ( I2 4 2 2 4 3 2 4 424 • • • 4 л2) 4-
4 3 ( 1 4 2 4 3 4 4 4 ••• 4 л ) 4 л ,
или
(я 4 I)3— 13 = 3 5 , 4 3 5 , 4 я. (3)
НО
с _ (я+1)я
2 •
, Подставим значение 5 , в равенство (3), получим
я3 4 Зя2 4 3 я = 3 £ г4 + Ч 4 я,
откуда ‘
652 = 2 (я34 3я24 3 я ) — Зя2 — Зя— 2 я = 2я3 4 Зя24 я =
= я ( я 4 1 ) ( 2 я 4 1 );
л (я 4 1) (2я 4 1)
‘ 2 — — 6“ — •
Подобным же образом можно найти сумму кубов первых
я чисел натурального ряда, если исходить из тождества
(я 4 1 )* — п4 = 4я»4 6л2 4 4я 4 1;
получим

§ 131. Геометрическая прогрессия

. Оп р е д е л ен и е . Последовательность чисел, в которой
каждый следующий член равен предыдущему члену, умноженному
на одно и то же число, называется геометрической
прогрессией.. Приведем примерь! геометрических

252 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 12. ПРОГРЕССИИ.

Каждый член первой последовательности, начиная со второго,
равен предыдущему, умноженному на 2 ; во втором примере
последующий член получается из предыдущего умножением
на -1д , в» третьем примере ^умножением на — у1 .
Число, на которое надо умножить нредыдущий член,
чтобы получить последующий, называется знаменателем
прогрессии. Знаменатель прогрессии обозначается буквой q.
Члены геометрической прогрессии, аналогично членам арифметической
прогрессии, будем обозначать a v а2, а3 и т. д.
Геометрическую прогрессию будем обозначать знаком
поставленным впереди ее членов.
Если знаменатель прогрессии ^ больше 1, то. прогрессия
• является возрастающей при flj > 0 и убывающей при ах < 0 .
Если q — \, то все члены геометрической прогрессии равны
между собой. Такие прогрессии интереса не представляют.
. В приведенных выше примерах первая прогрессия возрастающая,
вторая — убывающая, а третья не является ни
возрастающей, ни убывающей (здесь последующий член бывает
то больше, то меньше предыдущего).
§ 132. Формула любого члена геометрической прогрессии
По определению геометрической прогрессии имеем:
а3 = a2q = Oi?2;
Выявляется определенная закономерность: чтобы получить
член геометрической прогрессии с определенным номером,
нужно первый член прогрессии умножить на знаменатель прогрессии
с показателем, равным числу предшествующих членов.
Допустим, что этот закон справедлив для члена с номером k:
= 9*-1.* . ,(П
докажем, что тогда
°*+i — °i7** (?)
V ■ Ч ‘ Ш —

253

Действительно, по определению геометрическое црогрес-
сии имеем
« * + 1 = акЯ = a r f — ‘q = а^*.
и равенство (2 ) доказано.
Справедливость равенства (1) непосредственно проверена
нами вплоть до значения й = 4. Тогда, по доказанному, оно
верно »: нрк А,=с 5, а раз справедлива при к = 5, то верно
н при А — 6 л т, д .. и вообще оно верно при, любом натуральном
значении .&«=&.
Оя = Д1?Л- 1.
Дю&Ш *шт $*Фмшфинеско& прогрессия рааен пер-
т л $ m m i*. умноженному на знаменатель прогрессии
с понлшапьетм й пш л вт .рт ны м телу, «ленов, првёше-
стщшщ&х опрвёрлявмаму,
Ярдам е$ь 1 ..ШШяс’рЛ «леи прогрессии:
■ ‘Ч+А, % 9, 27,
В- яхм пример* «it** 1-;.. 4i==’3i поэтому
щ ~ «I?7;
Мййги 10 >-Я чле» прогрессии:
. . V —- у т » 1 , :
Знаменатель д ~ — ; aj = 2.
а иш ^ 2 )(, _ ] Ё Г = _ 2 . ф — _ Ж 2 f z 2® ~ 16

§ 133. Среднее геометрическое

Пусть a*.!, ah, ak+l~ три последовательных члена геометрической,
прогрессии, аде индекс к —любое натуральное
числе* большее: 1 . Тогда имеем ,
,ак _
я*~г щ ’
каждое из этих соотношений равно знаменателю прогрессии у.

254

Число, квадрат которого равен произведению двух данных
чмбел^иазываётсй их ‘сре$ОшШ’ШШекфяч*%1тМ\ — например,
число 6 есть среднее геометрическое чисел 4 и 9, гак как
6г = 4 • 9. _
Таким образом, любой член геометрической прогрессии
есть среднее геометрическоедвух смежных с ним
членов.
Пр име р . Между числами- 2 и 1458 вставить пять сред»
них геометрических.
Условие задачи надо понимать так: требуется найти пять
таких чисел, которые вместе с данными числами 2 и 1458
образовали бы геометрическую прогрессию с 1 -м членом
%я=2 и; 7-м членом « 7 = 1458. —
а ; Имеем: — -• -■
1458 = 2q6; 729 = f ;
= ± 3 .
Возможны две прогрессии:
-м-2, б, 18, 54, 162, 486, 1458

§ 134. С ущ а первых я членов геометрической
щюгрессни

Обозначим сумму первых ячленов геометрической прогрессии
через Sa:
^n = a i + a2- h a 3-j- . . . 4-а„_1-+-ая, (4)
Умножим обе части равенства (4) на q; получим
-S„q = (5)
так как-.’:
Й2> г= ®3’ • ••• «n~)@’=s:Mn’
то равенство (5) примет вид
$пЯ — a 2 + a3‘4_ a4~fb • • • Ч~ + апЯ- (6)
Вычитаем из равенства (6) равенство (4):
ЗпЧ — Зп — ЬпЧ — а»

255

откуда
s n= af Z ? ‘ ( я ф О-
Формулу суммы можно представить в другом виде, если
в ней ап заменить через получим’
. w c aiqn~lq ~ a l __ a, (qn — 1> .
п ~ q—1 . ~ q — 1 *
glg — T —- (ЯФ 1). (7)
Если знаменатель прогрессии, \q\ < 1, то удобнее писать
формулу так:
с аЛ \—дп)
° л ~ ■’ 1 —? ’
чтобы числитель и знаменатель дроби быЛи положительна
при а, > 0. Решим старинную задачу, относящуюся к XVIII
веку.
Зад ач а . Некто продает лошадь с условием, чтобы за
, первый гвоздь подковы был уплачен 1 трош, за второй
гвоздь —2 гроша, за. третий — 4 гроша и т. д. Всех подковных
гвоздей у лошади 32. Спрашивается, во сколько он
ценит лошадь?
Очевидно, надо найти сумму 32 членов геометрической
прогрессии, первый член которой ^ = 1 ; знаменатель q — 2:
fl32 = i — 2 31;
О . 031 __1 ,
$32 = 2—1 ‘» •= 232— 1 — 4294 967 295 (грошей).
В переводе на рубли это составит около 2,15 млн. руб. Цена
фантастическая.
Пример. Сумма первых трех членов прогрессии равна 6 ,
а сумма 2-го, 3-го и 4-го членов равна —3. Найти прогрессию.
Запишем условие:
e i «Ь в 2 “Ь аа — Ф
a2~f~ аз~Н в4 ~ —
Выражая члены прогрессии через первый, получим
Щ + + или O i i i+ q + q 3) — ©г (8)
агф -f- a fl* = —3. или 3. (9)

256

Разделим равенство (9) на равенство (8); получим: q —— i .
Первый член находим из соотношения
_ 6 б 0
4
Искомая прогрессия: 44- 8; —4; 2;-— 1 ; . . .
Упражнения
‘1. Написать несколько первых членов последовательности, если
общий член выражается формулой ап = — .
2. Та же задача при условии, что: 1) аа— з^ у у .» 2) ап = 2/Г~Гр
3) < . » — ( — ! ) * * ) . . — ( — I ) » »
3. Подобрать по возможности простую формулу для общего
члена следующих последовательностей: 1) 1, 3, 5, 7, 9, …;
nv , 2 3 4 5 6 . q. п 4 я
3 * «б * ~7~* 1 Г* ТГ* **** 3) <2 I в > А , ,,, ,
4. Какие из следующих последовательностей представляют
арифметическую прогрессию: 1 ) 3, 6, 9, 12 , . 2) 1 , 8, 27, 64, Г.,
3) 1, 3, 7, 15, 31, 4) 5, 3, 1, —1, —3, …?
5. Дана прогрессия
-4-3, 7, 11, 15, …
Найти: 1) 7-й член» 2) k-я член.
6. В прогревсии —
-ь 5, 2, ^-1» — 1, …
найти: 1 ) ai2; 2) в„.
7. Найти общий член прогрессии
4-36,56,76,… (6 =£0). ‘
8. Дана прогрессия
-4-3. 5. 7. 9, . . .
Если вычеркнуть в ней члены, стоящие на четных местах, то какую
последовательность чисел образуют оставшиеся члень!?
9. Между числами 4 и 40 вставить 8 средних арифметических.
10. Диаметры шкиво§, насаженных на общий вал, образуют
арифметическую прогрессию из пяти членов, крайни^ члены которой
равны 126 мм и 216 мм\ найти диаметры промежуточных шкивов.
11. Найти сумму 12 членов прогрессии
4-4, 8. 12, 16, …
12. Сколько раз пробьют часы за сутки. еСли они отбивают и
получасы?
17 Р. А. Калнин

257

13. Показать, что сумма первых п нечетных чисел есть точный
15. Сумма 2-го и 5-го членов прогрессии равна 14, сумма 3-го
и 7-го равна 8. Найти прогрессию.
16. Сумма 3-го и 6-го членов прогрессии равна 3, а сумма их
квадратов равна. 45. Найти прогрессию.
17. Купецкий некто человек, ймяще 14 чарок сребряных, ихже
каяждо превышает тягостию по чину прогрессии четырьмя лотами,
а воследняя чарка весит 59 лотов. И ведателыю есть, колико B<fe
чарки веса имуть. (Из арифметики Магницкого (1703 г.).)
. 18. При свободном падении в пустоте тело проходит в первую
секунду «приблизительно 4,9 ж. а в каждую следующую секунду на
9.8 м больше. Какой путь пройдет тело за 10 сек.? Какой путь прой*
ден в последнюю секунду?
19. Какое натуральное число равно сумме всех ему предшествующих
натуральных чисел? • ^
20. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрес-
сию, равна 16. Произведение первого На второе равно 12-4д-. Найти
эти числа.
2 1 .-Шестой член арифметической прогрессии составляет 60%
от третьего члена той же прогрессии, а произведение их равно 15.
Сколько нужно взять членов этой прогрессии, чтобы сумма их
равнялась 30 -д-?
22. Дана прогрессия
-т-3j 3.2; 3,4; 3,6; . . …..
Начиная с какого номера члены ее будут больше 1000?
23. Показать, что последовательность, общий член которой
выражается формулой = 2 • 3я, есть геометрическая прогрессия.
Написать первые четыре члена этой прогрессии.
24. Опредедать 10-й член прогрессии
++Z 4, 8, . . .

258

25. Чему равен 7-й член прогрессии
•Н-15, -5 . у . …
26. _Чему равен знаменатель геометрической прогрессии!
1 ) 2. V 2 , 1 , , . . ; 2) а», ап~ \ а » ‘2, . .. (а > 0)?
27. Между числами 12 и 972 вставить три средних геометрических.
28. Между числами 5 и 26 вставить четыре средних геометрических.;
.
29. Найти сумму десяти членов прогрессии, если
1) «1 = 3; ? = 2; 2) а, = Щ q —
30. Найти знаменатель и сумму семи членов геометрической
4
прогрессии, если Д1 = 36; а7 = -щ*.
31. Дано: S7 = 2186; q = 3. Найти at и в7.
32. Найти число членов геометрической прогрессии, если
Mi ==3; q = 2; Sn = 189.
33. Найти знаменатель прогрессии, если в « 1 ; п — 3; S3 = 157
34. Дана геометрическая прогрессия, в которой
3
ai + а2 — 9; a ,—q = 2 j .
Найти вд.
35. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометрическую
прогрессию, равна 65. Если отнять от меньшего числа 1,
от большего 19. то вновь полученные числа составляют арифметическую
прогрессию. Найти эти числа.
36. Найти четыре числа, зная, что первые три из них составляет
геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую.
Известно, что q =* % d в= 6.
37. Найти четыре положительных числа, составляющих геометрическую
прогрессию, если -\- а2 == 15; а3 -{-в* = 60.
33. Показать, что если три положительных числа 0> б и с образуют
геометрическую прогрессию, то

259 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 12. ПРОГРЕССИИ.

ЕГЭ 2015 Математика.
Библиотека учителя.
Школьная математика.