§ 1. Определение показательной функции

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 7
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ЛОГАРИФМЫ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Определение показательной функции

Г Л А В А VII
§ 1. Определение показательной функции
Оп р е д е л ен и е . Показательной функцией от независимого
переменного х называется выражение аху где а — данное число.
Если а положительно, функция ах определена (т. е. имеет смысл)
при любых вещественных значениях х или, как принято говорить,
при положительных а функция ах
определена при всех значениях х
от — оо до -f-oo.
t у ./* Если а отрицательно, функ-
— —*—:———————————— ция ах определена только при
целых значениях лг и не имеет
^———————- *5 смысла, когда х дробное или
иррациональное (см. определение
дробного показателя в гл. VI).
Если я = 0, функция, а* определена
только при л г> 0 , имен-
Рис. 82. но при всех положительных значениях
х 0* = 0. При лг = 0, а
также при лг 0 выражение 0* не имеет смысла.
В дальнейшем функция ах будет изучаться только при положительных
а.
Интересными и полезными для приложений являются случаи, когда
а «Ф 1.
Если я = 1 , то a * = l при всех значениях лг. Графиком функции
1* служит прямая, параллельная Олт, проходящая через точку (0,1),
(рис. 82).

§ 2. Свойства функции ах

1. Если я > 0 , функция ах определена при всех значениях лг от
■— оо до -f-oo.
2. При всех значениях лг функция ах ^> 0.
3. При а^> 1 функция ах возрастает. При я<^1 функция я* у бы-,
вает (теорема 2 § 8 гл. VI).
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ЛОГАРИФМЫ

388 Понятие о степени с иррациональным показателем. Кабинет Математики.

4. Если а положительно и отлично от единицы и aXi—ax*, то
х х — х ъ т. е. если степени одного и того же положительного
отличного от единицы основания равны, то равны и показатели
степеней. Докажем это.
Предположим, что х ^ ^ х * Тогда при а^> 1 axi’^>a**, а при
a<d 1 Точно так же доказывается, что нельзя предполагать,
ЧТО Х г < ^ Х ь
5. Если а^> 1, то при неограниченном возрастании показателя х
функция ах неограниченно возрастает, а при неограниченном убывании
показателя х функция ах принимает значения, сколь угодно близкие
к нулю.
Если то при неограниченном возрастании показателя х
функция ах принимает значения, сколь угодно близкие к нулю,, а при
неограниченном убывании показателя х функция ах неограниченно
возрастает. Это свойство можно формулировать так:
Если 1, то ах -f- оо при jc — ^ — f -оэ и ах 0 при х — оо.
Если а<^ 1, то а*-* 0 при Ar->-f-QOHa*->4~°° при х -> — оо.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а > 1 и М—сколь угодно большое положительное
число. Как показано в теореме 2 § 9 гл. V, ап> М при всех
М— 1
п > a-^ Y • Пусть теперь
х ^^ п >^ -М——— 1 а — 1
При всех значениях х , удовлетворяющих этому неравенству, а* > М.
Пусть теперь т — сколь угодно малое положительное число. По доказан-;
ному найдется’такое лг, что я * > или, что все равно, ^ < т , т. е.
агх < /я.
Первая часть утверждения доказана.
Пусть теперь д < 1 . Положим я = — , тогда ^ > 1 . Так как ахх возра- #1
стает от значений, сколь угодно близких к нулю, до сколь угодно больших,
обратная величина
O—f = ах
убывает от значений сколь угодно больших до значений, сколь угодно близких
к нулю. Вторая часть утверждения доказана.
6. Если а положительно и отлично от единицы, то каково
бы ни было положительное число N, существует и притом толь-
ко одно такое значение х , что
ах— N.
Иными словами, если а положительно и отлично от единицы и N —
данное положительное число, уравнение ax = N имеет решение и притом
только одно.

389  Понятие о степени с иррациональным показателем. Кабинет Математики.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем сначала, что уравнение имеет решение.
Одно из двух: или существует такое рациональное число г, что ar =±Nt
или такого числа не существует. Если имеет место первое, то для таких N,
утверждение доказано. Если имеет место второе, покажем, что существует
такое иррациональное число а, что ла г=М
Пусть 1. Существует такое целое пг что ап> N. С другой стороны,
существует такое целое пи что ani< N . Выпишем все целые числа
от rii до п:
пи пх + I, с ., л.
Рассмотрим последовательность степеней
e?i, ani+ \ . . . , a*i (1)
Сравнивая члены последовательности (1) с числом N> можно найти такие два
соседний члеца аР и пр+1 последовательности (1), что число N будет заключено
между ними, т. е*
aP<.N<aP+K
Составим теперь последовательность
1 . 2 9
ар, аР +Тша, а* *+ m , . . . , аР -f ш1 , яР +1* (2)
Сравнивая члены последовательности (2) с числом N, можно найти таких
два соседних членал aр +!wо и aр +^1сГ последовательности (2), что
n+ £i
Составим последовательность
г_1_£д vA qi I 2 о! ?1) 9 D\ 0i 4*1
/ + 1 0 / + 1 0 + 1 0 0 / + 1 0 + 1 0 0 / + 1 0 + 1 0 0 / + 10 у о \
Сравнивай члены последовательности (3) с числом Nt опять найдем таких
РО ‘1 0110 ^I 10020 Р ,’ 0110 .’ 021 ~00Н два соседних члена а ш и а ш , что
n_L.0i.j_.0*. р .01 , 0гЧ- *
/ / + 1 0 + 1 0 0 < 7 V < / + 1 0 + 1 0 0 .
Продолжая неограниченно процесс деления промежутка на 10 равных
частей и сравнивая всякий раз число N с получающимися при этом степенями
числа я, получим две последовательности показателей
Р>Р + % ’ + * (4)
р + 1; Р + + (5)
и две последовательности степеней

390 Понятие о степени с иррациональным показателем. Кабинет Математики.

Последовательность (4) — возрастающая и ограниченная сверху любым членом
последовательности (5). Последовательность (5) — убывающая и ограниченная
снизу любым членом последовательности (4). Разность последовательностей
(5) и (4) сходится к нулю. Следовательно, существует единственное
число а, которое больше всех членов последовательности (4) и меньше всех
членов последовательности (5).
Точно так же существует единственное число, которое больше всех членов
последовательности (6) и меньше всех членов последовательности (7),
Этим числом по построению последовательности является число N. По определению»
степени с иррациональным показателем, этим числом является а \
Значит, a* = N.
* Пусть теперь а < 1. Положим тогда а х >1 . Уравнение
имеет решение при любом положительном N. Это же решение удовлетворяет
уравнению
ах = N.
Докажем, что решение единственно. Предположим, что уравнение имеет
два решения: х = лгх и x = x Sf причем a t i > x 3. Тогда имеем:
ax i — N; ax* = N9
axi =
— Но это невозможно, так как при я > 1 axi>>axzt а при а < I йхi < а х*.

391 Понятие о степени с иррациональным показателем. Кабинет Математики.

Околоadmin