дома » Библиотека учителя » Разрывные функции

Разрывные функции

Разрывные функции

| ПРЕДЕЛ

Разрывные функции.

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 3: ПРЕДЕЛ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛ

§ 3.10. Разрывные функции

Разрывные функции описывают скачкообразные процессы,
встречающиеся в природе. При ударе, например,
величина скорости тела меняется скачкообразно. Многие
качественные переходы сопровождаются
скачками.
П р и м е р 1. Упругий шарик двигался
прямолинейно и равномерно
со скоростью v0. В момент времени
t0 он ударился о стенку и после
этого стал двигаться в противопо-
Рис 73 ложном направлении с той же скоростью
и0. Зависимость скорости шарика
от времени t изображена графиком на рис. 73, разрывным
в точке in

82

Практически можно считать, что скорость в момент t0
изменилась мгновенно: в момент t0 она еще равнялась и0,
а при t > t0 стала равной —v0.
График изображает функцию v(t), определяемую следующими
равенствами:
} V0 ( t < t 0) ,
v0 (t > t0).
Она разрывна при t = t0 и непрерывна для остальных
t (t¥= t0)-
П р и м е р 2. Зависимость Q = f(t) между температурой
t одного грамма воды (льда) и количеством Q калорий
находящегося в ней тепла, когда t изменяется между
—10° и + 1 0 °, если принять условно, что при
—10° величина Q = 0, выражается следующими у
формулами: ^
I 0 ,5 /+ 5, —1 0 < / < 0 ,
^ ) = \ / + 85*), 0 < / < 10.
45
Мы считаем, что теплоемкость льда равна 0,5.
При / = 0 эта функция оказывается неопределенной:
многозначной; можно для удобства ус- д
ловиться, что при t = 0 она принимает вполне . i
определенное значение, например /(0 ) = 45. 10 f
Функция Q = f(t), очевидно, разрывная при Рис. 74
t = 0, изображена на рис. 74.
sin х На рис. 66 изображен график функции f(x) = — j ~ .
Она определена и непрерывна для всех хфО. Непрерывность
следует из того, что функции г/ — sin л: и у = х отдельно
непрерывны, поэтому их частное тоже есть непрерывная
функция для тех х, для которых знаменатель не
равен нулю, т. е. для всех х, исключая х= 0 .
Из графика видно, и мы это подкрепили выше вычислениями,
что
lim / (х) = lim = I .
х-+0 х-+0 х
Положив / (0) = I , мы получим, что функция / (х) будет
определена и непрерывна для всех х, в том числе и х = 0.


*) Удельная теплота таяния льда при 0°С равна 80 кал. на
грамм.

83

Обратим внимание на график функции // = sin-^-, изображен-
лый на рис. 70. Эта функция не определена при х = 0, и ее пределы
в точке х = 0 (правый и левый) не существуют. Следовательно,
функция sin— будет иметь разрыв в точке * = 0 при любом доопределении
ее в этой точке.
Часто встречаются функции f(x), непрерывные на некотором
интервале, за исключением отдельных точек х0,
где
lim / (х ) = оо.
Х-УХ0
Говорят, что в таких точках функция f обращается в
бесконечность. Например, функция
х* + 1
(х—2) (* + 3)
непрерывна на (— оо, оо), за исключением точек л; = 2 ,
х*=—3, где она обращается в бесконечность;
З а м е ч а н и е . Надо знать два определения непрерывности
функции f (х) в точке х0: 1) на языке приращений
(если А х — ^ 0 , то Аг/—>0) и 2) lim /(х ) = / ( х 0). Надо знать
также, что если функция /(х) непрерывна в любой точке
интервала (отрезка), то ее график непрерывен на этом
интервале (отрезке), и обратно, непрерывность графика
f(x) на интервале (отрезке) влечёт непрерывность f (х) во
всех его точках. Функция разрывна в точке х0, если она
не является непрерывной в ней.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Что такое приращение А у функции y= f ( x ) в точках
х, соответствующее приращению аргумента Ах?
2. Сформулируйте непрерывность функции г/ = /(х)
а) на языке свойств ее графика,
б) при помощи А у и Ах.
3. Если функция / непрерывна в точке х0, то как она
ведет себя при х —> х0?
4. Приведите примеры разрывных функций.

84

5. Перечислите простейшие элементарные функции.
6. Как определяются элементарные функции? Приведите
примеры.
7. Приведите примеры функций, обращающихся в точке
в бесконечность.
В. В каких точках обращаются в бесконечность функции
1 х+ \ хй+%+2 х—2Э
х* ‘ х*— Зх+ 2 • х—3 ’ * + 5 ‘
§3.10. РА З РЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 85
9. Вычислить пределы:
a) Jim 2х*—~х — 1~ ; б) •
в ) П т / 1 + Т з — ^ Т + Т . r ) l i m s i n / T .
Х-+3 Х2 — 9 х-+0 х
ч ,. tg 4х ч | . \ / х 6 + 2
д) lim I е) lim , д —-

85

#Разрывные_функции #математика #анализ #математический_анализ

Тригонометрические функции

Школьная математика
Математика в школе

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика