§ 9. Изображение действительных чисел на числовой оси.
Неравенства
Ч А С Т Ь II. ГЛАВА I. СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Школьная программа математика
Мы видели раньше, что каждое рациональное число — целое или
дробное, положительное или отрицательное — может быть изображено
точкой на прямой линии, так называемой числовой оси.
Числовая ось есть направленная прямая с выбранной точкой отсчета
О и с выбранной единицей масштаба (рис. 34). Изображением рационального
числа а является точка А, расстояние которой от точки
234 Алгебра Неравенства, Школьная программа математика
отсчета равно абсолютной величине а, и отрезок ОА направлен по
направлению прямой или в противоположном направлении в соответствий
со знаком числа а>
Совершенно так же мы можем изобразить в виде точки и любое
иррациональное число. Именно, чтобы построить изображение иррационального
числа, нужно от точки отсчета О отложить в сторону
А
— ———— +———— ———— 1————- ь* —…..■ >
О /
‘Рис. 34.
направления прямой или в противоположную, в зависимости от знака
я, отрезок, длина которого в данном масштабе равна числу J а |. Точка,
являющаяся концом этого отрезка, и будет* изображением числа а.
Принято для сокращения речи говорить вместо «точка, изображающая
число а» просто «точка я», т.е. как бы отождествлять число
с точкой, являющейся его изображением.
Таким образом, каждое действительное число, рациональное или
иррациональное, изображается^ виде точки на числовой оси.
Обратим внимание на то, что если ограничиться рациональными
числами, то мы получим, что не все точки числовой оси являются
изображением чисел. Так, если мы отложим от точки отсчета отрезок,
равный диагонали квадрата со стороной, равной единице, то
построенная точка не будет изображением рационального числа. Таким
образом, если представить себе изображенными на числовой оси все
рациональные ;числа, то не вся числовая ось будет покрыта их изображениями.
Найдутся точки числовой оси, не являющиеся изображениями
рациональных чисел, так что числовая ось будет как бы «просвечивать
» сквозь совокупность изображений рациональных чисел.
Но изображения всех действительных чисел, рациональных и иррациональных,
заполняют уже всю числовую ось.
В самом деле, любая точка А числовой оси является изображе- ,
нием некоторого действительного числа, положительного или отрицательного,
в зависимости от того, с какой стороны от начальной
точки О точка А находится. Абсолютная величина этого числа равна
длине отрезка О А. Такое число существует, ибо в области всех
действительных чисел каждый отрезок имеет длину, выражаемую числом.
Для действительных чисел естественным образом определяются
понятия «больше» и «меньше». Если заданы два неравных отрезка,
то из них ббльшим считается тот отрезок, на который целиком укладывается
другой меньший отрезок. Соответственно, из двух положительных
действительных чисел считается ббльшим то, которое является
длиной большего отрезка.
Далее, каждое положительное число, по определению, больше
нуля и больше каждого отрицательного числа, а из двух отрицательных
чисел больше то, абсолютная величина которого меньше. Так’
235 Алгебра Неравенства, Школьная программа математика
же, как для рациональных чисел (см. гл. II первой части книги), легко
установить, что при изображении действительных чисел точками на
числовой оси, направленной слева направо, большее из двух чисел
изображается точкой, лежащей правее.
Такое изображение действительных чисел вносит наглядность в
понятие «больше» и «меньше» в применении к любым действительным
числам.
§ 10. Приближения к действительным числам
К любым действительным числам можно приблизиться посредством
рациональных чисел. Приближением с недостатком к действительному
числу а с точностью, например, до называется такое
рациональное число г, что г ^ а , но г-)— уже больше а.
Особенно удобно рассматривать десятичные приближения. Ле ся- .
тичным приближением с недостатком к действительному числу а
с точностью до (или, как говорят тоже, с точностью до единицы
т-то знака после запятой) называется десятичная дробь г с m
цифрами после запятой и такая, что г<~а, но а.
Очевидно, что число г *»Ь“^лГ получается из числа г посредством
увеличения последней цифры на одну единицу.
Число r’ = r-f—|QOT называется десятичным приближением к
ЧИСЛу Г С иЗбЫтКОМ С ТОЧНОСТЬЮ Д О -y— j — .
Например, десятичными приближениями к числу 4о о недостатком
являются 0,3 (с точностью до 0,1); 0,33 (с точностью до 0,01); 0,333
(с точностью до 0,001) и т.д. Соответственно приближениями с избытком
являются 0,4; 0,34; 0,334 и т.д.
К числу 2- j приближениями с недостатком будут: 2,2 (с точностью
до 0,1); 2,25 (с точностью до 0,01); 2,250 (с точностью до
0,001); 2,2500 (с точностью до 0,0001) и т.д. Здесь все приближения,
начиная с 2,25, равны между собой и равны числу 2~*
Мы рассмотрели примеры приближений к рациональным числам.
Подобным образом можно строить приближения и к числам иррациональным.
Например, десятичные приближения к иррациональному
числу (которым измеряется длина диагонали квадрата со стороной,
равной единице) суть: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; … , т.е. «приближенные
значения» У~2 с соответствующей точностью.
236 Алгебра Неравенства, Школьная программа математика
Легко видеть, что последующее десятичное приближение с недостатком
к данному действительному числу а получается из предшествующего
посредством приписывания одной цифры без изменения предыдущих.
Чтобы установить это в общем виде, обратимся к геометрическому изображению
чисел. Пусть гт есть десятичное приближение (с недостатком) к числу
а с точностью до единицы m-го знака после запятой. Тогда г’т = rm + -jq^t
есть соответствующее приближение с избытком. Изображение числа а находится
внутри (или на левом конце) промежутка от гт до r fm.
Разобьем этот промежуток на 10 равных частей (рис. 35). Длина каждой
части будет равна, очевидно, • ц Д + г , т. е. одной единице т + 1 знака.
Следовательно, точки деления будут представлять собой десятичные дроби с
т + 1 знаками после запятой, целая часть и первые т знаков которых образуют
десятичную дробь rm. Точка, изображающая число а, попадет внутрь
или на левый конец одного из десяти промежутков. Тогда числа, изображениями
которых являются левый и правый концы этого промежутка, будут
представлять собой соответственно десятичные приближения rm + i и r ‘m+i к
числу в с w + 1 знаком после запятой. Таким образом, при записи приближения
rm+1 в виде десятичной дроби все цифры в десятичной записи гт
действительно сохраняются, и только добавляется одна новая цифра.
Представим теперь себе, что мы смогли найти все десятичные
приближения к числу а, т. е. мы знаем, какая цифра на каком месте
в этих приближениях находится. Представим себе все эти цифры
записанными подряд, одну за другой, в том порядке, как они входят
в десятичные приближения (с недостатком), мы получим так называемую
бесконечную десятичную дробь. (Конечную десятичную дробь
можно рассматривать как частный случай бесконечной, считая, что
все цифры, начиная с некоторой, равны нулю.) Отрезки бесконечной
десятичной дроби, т.е. дроби, составленной из конечных последовательностей
ее цифр, являются десятичными приближениями (с недостатком)
к действительному числу а.
Естественно считать, что эта бесконечная дробь является записью
положительного действительного (рационального или иррационального)
числа с помощью цифр. Каждое действительное число вполне определяет
такую запись, и неравные действительные числа определяют
различные бесконечные десятичные дроби, так как если два действительных
числа неравны, т.е. изображаются различными точками на
числовой оси, то их приближения с недостатком должны различаться
при достаточно большой точности, т.е. при достаточно большом
числе цифр после запятой.
237 Алгебра Неравенства, Школьная программа математика
Приближение с недостатком гл + | может совпадать с предыдущим приближением
rm, только если т + 1 -я цифра после запятой есть 0 .
Приближение с избытком может совпадать с предыдущим приближением
r ‘m, только если m + 1 -я цифра (в приближении с недостатком)
есть 9.
Заметим* что по определению приближения с избытком оно не может совпадать
ни при каком п с приближаемым действительным числом.
Отсюда нетрудно установить (но мы не будем на этом останавливаться),
что десятичные приближения с избытком не могут оставаться неизменными,
начиная с некоторого места. Поэтому записью положительного действительного
числа не может быть бесконечная десятичная дробь с девяткой в периоде.
Мы рассмотрели десятичную запись для положительных действительных
чисел. Для записи отрицательного числа достаточно’ записать
в виде бесконечной десятичной дроби его абсолютную величину
и поставить знак минус.
Итак, каждое действительное число может быть записано , в виде
бесконечной десятичной дроби (без девятки в периоде). Справедливо
и обратное утверждение, что каждая бесконечная десятичная дробь
(без девятки в периоде) является записью некоторого действительного
числа. Доказательство последнего утверждения теснр связано
с так называемым свойством непрерывности прямой линии, изложению
сущности которого посвящен следующий § 11.
Отметим один важный случай, в котором бесконечные десятичные
дроби появляются естественным образом. В § 6 мы доказали, что из
любого положительного числа можно приближенно извлечь корень
любой степени с любой точностью *). Составляя последовательные
десятичные приближения (с недостатком) к п/ а , мы получим ряд конечных
десятичных ‘ дробей, из которых каждая последующая получается
посредством приписывания одной цифры к предыдущей. Например,
для У~2 мы получим 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213
и т. д.
Представив себе этот процесс продолжающимся безгранично, мы
получим бесконечную десятичную дробь. Естественно предполагать,
что эта бесконечная десятичная дробь есть запись действительного
числа, являющегося точным значением п/ а . Например, У~2 = 1 ,4 1 4 2 1 3 …
(Строгое доказательство этого мы проведем в § 14.)
Замечание . Можно доказать, что бесконечная десятичная дробь
является записью рационального числа в том и только в том случае,
если она периодическая.
В гл. VI будет доказана одна сторона этого утверждения, именно,
что всякая периодическая десятичная дробь действительно является
записью некоторого рационального числа.
*) При доказательстве рассматривались, конечно, только рациональные
подкоренные числа, однако все рассуждения легко перенести на любые действительные
числа.
238 Алгебра Неравенства, Школьная программа математика
Околоadmin
Comments