Что из чего следует!

Главная Страница Зачем и как мы доказываем в математике.

Скачать бесплатно в PDF формате «Зачем и как мы доказываем в математике. А.А. Столяр» на странице Учебники Скачать.

Текст для быстрого ознакомления. Формулы отображаются некорректно. Смотрите оригинал в формате PDF по ссылке выше.

Зачем и как мы доказываем в математике

А. Мы приступаем к рассмотрению одного из
основных вопросов наших бесед — вопроса об отношении
между предложениями, выражаемом посредством
предложения.
«Из А следует В».
Но прежде всего необходимо выяснить, что Вы
об этом уже знаете.
С. То, что мы изучали в 7 классе.
Например, мы говорим, что из уравнения (1)
х2 — Зх = 0 следует уравнение (2) {х2 — Зх)(х — 1) = О,
так как уравнение (2) обращается в верное числовое
равенство при всех тех значениях х, при которых
(1) обращается в верное равенство.
А. Но ведь уравнение (2) обращается в верное
равенство и при значении х = 1, при котором уравнение.(
1) обращается в ложное высказывание.
С, Это не важно.
А. А что же важно?
С. Важно лишь то, что нет такого значения х,
при котором уравнение (1) обращается в истинное
высказывание, а уравнение (2) — в ложное.
А. И то же имеет место для неравенств?
С. Да. Например, из неравенства (3) х < . 4 следует
неравенство (4) ж С 8, так как последнее обращается
в истинное высказывание при всех тех значениях
х , при которых (3) обращается в истинное
высказывание. Иными словами, нет такого значения
х, при котором (3) обращалось бы в истинное
высказывание, а (4) — в ложное.
А. Ну, что же! Надо признать, что Вы правильно
поняли, что означает «одно уравнение (неравенство)
следует из другого». Однако этого недостаточно
для наших целей. Поэтому мы сделаем некоторые
обобщения, исходя, разумеется, из тех знаний,
которые уже у Вас имеются.

Вы говорили о следовании одного уравнения
(или неравенства) из другого. Но уравнения и неравенства
— высказывательные формы. Понятие
следования, которое Вы описали для уравнений или
неравенств, естественным образом распространяется
на всякие высказывательные формы.
Если, например, А(х) и В(х) — высказывательные
формы, содержащие свободную переменную х, то
мы говорим, что «из А{х) следует В(х)» тогда и
только тогда, когда в любой интерпретации В(х)
обращается в истинное высказывание по крайней
мере при всех тех значениях х, при которых А(х)
обращается в истинное высказывание. Иными словами,
из А{х) следует В(х), если импликация А(х)=$֊
=>В(х) истинна для любого х, или высказывание
V х(А(х)=>В(х)) истинно.
С. До сих пор мы говорим только о следовании
одной высказывательной формы из другой. Применимо
ли это же отношение следования к высказываниям?
А. Разумеется, применимо. Приведем примеры.
а) Рассмотрим два высказывания:
(1) «Неверно, что для всякого х имеет место
х3 ^ О» и (2) «Существует х такое, что неверно
х3 > О».
Отвлекаясь от содержания этих высказываний,
можно записать символически их логические структуры
(формы) следующим образом:
(1) IV хА(х) и (2) 3 * 1 А{х).
Что можно сказать об эквиваленции 1 V хА{х) ~
~ 3 х 1 А(х)?
С. Она общезначима, мы ее рассматривали
в предыдущей беседе.
А. Совершенно верно. В таком случае и каждая
из импликаций
(3) IV х А (*)=>- 3 * 1 А{х)
и ( 4 ) 3 x 1 Л(х)=ф- IV хА[х)
общезначима (проверьте совпадение истинностных
таблиц эквиваленции А ~ В и конъюнкции двух
импликаций (А=>В) Д (В=$֊А)). Поэтому из (1) следует

(2) и из (2) следует (1), так как ни одна из этих форм
не может обратиться в ложное высказывание, когда
другая обращается в истинное.
б) Рассмотрим два высказывания:
(1) «Если в а АВС угол С —прямой, то
с2 = а2 + ծ2» и
(2) «Если в A ABC с2Ф а 2 -{-Ь2, то не верно,
что угол С прямой».
Как Вы можете записать логические структуры
этих высказываний?
С. (1) P ^ Q и (2) 1 Q=^ 1 Р,
эквиваленция этих двух форм (P=>Q) ~ ( 1 Q=> 1 Р)
общезначима, выражает закон контрапозиции. Значит,
и каждая из импликаций
(3) (P=s~Q)=>( 1 Q=>- 1 Р)
и (4) ( 1 1 P )=H P ^Q )
общезначима и высказывательная форма (2) следует
из высказывательной формы (1) и обратно.
Можно ли теперь заключить, что если А и В —
высказывания или высказывательные формы, то из
А следует В только тогда, когда импликация А=>В
общезначима?
А. Оказывается, не только тогда. Общезначимые
формы лежат в основе логических следований,
имеющих место в любой непустой предметной области.
Но часто мы говорим о следовании одного
математического предложения (В) из другого (Л)
в рамках некоторой определенной математической
теории, и в этом случае импликация А=>В не является
общезначимой. Она истинна лишь в рамках
этой теории. Кстати, у нас уже были подобные
примеры, когда из А следует В без того, чтобы
импликация была общезначимой. Например,
из х <С 4 следует х < 8, но импликация «если х С 4,
то х <С 8» не является общезначимой, она истинна
при любом значении х лишь в рамках алгебраической
теории.
Нетрудно заметить существенное различие между
следованиями: «из P=>Q следует I Q ^ l / 3» и
«из х < 4 следует л: < 8».

свойстве « о в каком-то числовом множестве.
А. Вы хорошо заметили это различие. Первое —
логическое следование. Оно обычно обозначается
знаком P=>Q 1 Q=> 1 P). Второе — математическое
следование (следование в рамках некоторой
математической теории), и мы обозначаем
его тем же знаком =>-, что и импликацию: «х < 4 = > —
=ф-л:<;8» (здесь, естественно, подразумевается квантор
общности: V х(х < 4=^х < 8)).
Еще пример математического следования. Выше
мы воспользовались истинным геометрическим предложением:
«Если в а АВС угол С прямой, то
с2 = а 2 + ծ2».
С. Это, по существу, формулировка теоремы
Пифагора.
А. Правильно. Но мы также говорили, что из
предложения: «В а АВС угол С прямой», следует
предложение: «с2 = а 2 -f- b », т. е. имеет место следование
(В A ABC угол С прямой)=>(с2 = а 2 + ծ2)
в рамках теории евклидовой геометрии.
С. Но это следование мы устанавливаем с помощью
доказательства, а в самом начале Вы говорили,
что в доказательстве мы пользуемся логическим
следованием. Можно ли утверждать, что
математическое следование устанавливается с помощью
логического следования.
А. Вы пришли к правильному и очень важному
для понимания сущности математического доказательства
заключению. Именно потому, что доказательство
в математике устанавливает следование
одного предложения данной математической теории
из другого (или других) этой же теории с помощью
логических средств, т. е. правил логического следования
(или вывода), мы и должны изучить эти
средства, чтобы можно было затем ответить на
основной вопрос, как мы доказываем в математике.
С. До сих пор Вы приводили примеры следования
одного предложения из другого. Теперь Вы

говорите и о следовании одного предложения из
других. Как это понимать?
А. Вы правильно заметили. Необходимо еще
одно обобщение понятия следования. При этом здесь
и далее в этой беседе под следованием будем понимать
логическое следование ( ,1= ), основанное
на логических законах.
Принято считать, что из предложений А\, А2, …,
Ап следует предложение В, если В истинно по крайней
мере всегда, когда истинны А\, А2, …, Ап.
Предложения А\, А% …, Ап называют посылками,
предложение В — следствием (из этих посылок),
или заключением.
Теперь мы можем перейти к ответу на заглавный
вопрос нашей беседы — ЧТО ИЗ ЧЕГО СЛЕДУЕТ?
Ответом на этот вопрос будет набор простейших
широко, но неявно применяемых в математических
доказательствах правил следования (правил вывод
а)4.
Для составления этого набора выясним, какие
правила применяются неявно в конкретных рассуждениях
(доказательствах). Но перед этим нужно
сказать несколько слов о самом понятии правила
вывода. Такое правило представляет собой, по существу,
следование
А1, А2, …, Ап ( = В,
записываемое также в виде «дроби»
At , А2 А п
В ’
где над чертой записаны посылки, т. е. те предложения,
к которым применимо это правило, а под
чертой — заключение, т. е. то предложение, которое
получается в результате применения этого правила.
4 Вообще одно и то же правило называют правилом следования,
если оно устан авли вает ся семантически, на б а зе приведенного
выше определения следования, и правилом вывода,
если оно вводится чисто формально (синтаксически), без использования
понятий «истина» и «л ож ь » . Но мы применяем
термины «правило следования» и «правило вы в о д а » как синонимы

С. Обозначают ли А\, …, Ап и В предложения
конкретного содержания?
А. Всякое правило вывода должно удовлетворять
следующим условиям: 1) оно не должно касаться
содержания посылок и заключения. В записи
правила «Л,», …, «Ап», «В » обозначают не конкретные
предложения (высказывания или высказывательные
формы), а лишь логические структуры,
формы посылок и заключения. Правило применимо
к любым конкретным предложениям, имеющим
форму А\, А2, …, Ап, и в результате этого применения
получается заключение формы (структуры) В.
2) Если в результате применения правила к посылкам
А 1 , …, Ап получается заключение В, то это
означает, что В следует из А\, …, Ап. 3) Набор
правил вывода должен быть таким, чтобы за конечное
число шагов мы смогли бы выявить применимость
или неприменимость любого правила набора
к любым заданным предложениям, как к посылкам.
С. Последнее условие мне не совсем ясно.
А. Оно прояснится на примере того конкретного
набора правил вывода, к составлению которого мы
сейчас переходим.
Для выявления необходимых нам правил вывода
мы будем исходить из однотипных (по логической
структуре посылок и заключения) рассуждений
различного содержания, отвлечемся от этого
содержания, т. е. перейдем от рассуждений к их
схеме, и обнаружим, что у всех рассмотренных
рассуждений различного содержания одна и та же
схема. Эта общая схема, если она действительно
представляет собой некоторое следование, и будет
правилом, по которому построены все рассматриваемые
однотипные рассуждения.
Итак, приступаем к выявлению простейших правил
вывода.
1. Рассмотрим следующие рассуждения. (В обычной
практике мы не высказываем все посылки и
наши примеры рассуждений будут вначале да ны
в такой неполной форме, в какой они встречаются

I. Число а делится на 9, следовательно, оно
делится на 3.
II. ABCD — квадрат, следовательно, он — прямоугольник.
III. В A ABC угол С — прямой, следовательно,
A ABC — прямоугольный.
IV. Это — береза, значит, это — дерево.
Эти неполные рассуждения можно дополнить
недостающей (подразумеваемой) посылкой следующим
образом:
I. Если число а делится на 9, то оно делится
на 3;
число а делится на 9;
следовательно, оно делится на 3.
Дополняйте теперь таким же образом рассуждения
II—IV.
С. II. Если ABCD — квадрат, то он прямоугольник;
ABCD — квадрат;
следовательно, он — прямоугольник.
III. Если в A ABC угол С — прямой, то
Д ABC — прямоугольный; в Д ABC
угол С — прямой;
следовательно, д ABC — прямоугольный.
IV. Если это — береза, то это — дерево;
это — береза;
следовательно, это — дерево.
А. Хорошо. Если теперь внимательно проанализировать
эти рассуждения, то что можно в них обнаружить?
С. Они различны по содержанию, но имеют
одну и ту же форму, т. е. построены одинаково,
по одной и той же схеме.
А. Могли бы Вы описать эту общую схему, по
которой построены все четыре рассуждения?
С. Все эти рассуждения имеют две посылки,
причем первая посылка — импликация, а вторая —
первый член этой импликации.
А. А заключение?
С. Заключение — второй член импликации.

А. Правильно. Таким образом, все эти рассуждения
построены по следующей схеме:
«Из P=^Q и Р следует Q,
поэтому нам нужно выяснить, имеет ли место следование
P=>Q, Р \ = Q . (1)
С. Как это сделать?
А. Мы можем заменить следование (1) следованием
Q из конъюнкции посылок
P ^ Q / \ P \ = Q (2)
(вообще А\, Аշ, …, Ап ( = В тогда и только тогда,
когда А\ А Лг Д … Д Ап ( = В), а следование (2)
имеет место, когда импликация
(P=>Q) Л P=^Q (3)
общезначима, выражает закон логики.
С. Но общезначимость импликации (3) я уже
доказал с помощью истинностной таблицы, выполняя
Ваше задание после второй беседы.
А. Совершенно верно. Но можно установить
следование (1) несколько проще, тоже с помощью
истинностной таблицы, не прибегая к доказательству
общезначимости импликации (3).
Достаточно обнаружить в истинностной таблице
импликации P=>Q
р Q P ^ Q
и и И
и Ո л
л и И
л л и,
что заключение Q истинно по крайней мере во всех
тех строках, в которых истинны обе посылки,
P=$֊Q и Р (действительно, обе посылки истинны
только в 1-й строке, заключение Q — в 1-й и 3-й).

Можно также доказать общезначимость импликации
(3) способом от противного, не прибегая
к построению истинностной таблицы.
Допустим, что импликация (3) необщезначима.
Значит, существует хотя бы одна строка истинностной
таблицы, в которой она принимает значение
Л. Тогда, в соответствии с определением импликации,
в этой строке первый член импликации,
(P=^Q), Д Р, принимает значение И, а второй, Q,—
Л. Но если (Р=> Q) Д Р = И, то Р=> Q = И и Р = И.
Подставляя вместо Р и Q их значения в P=*֊Q ,
получаем И=^Л = Л. Мы получили противоречие
(P=j֊Q = H и Р=^(? = Л). Значит, такой строки
истинностной таблицы, в которой импликация (3)
принимает значение Л, нет. Следовательно, эта
импликация общезначима (тавтология).
С. Мы получили правило следования
P=>Q, Р
5 ’
называемое правилом заключения, которое Вы уже
разъяснили мне в предварительной беседе.
А.՜Правильно. Попробуйте сейчас несколько изменить
рассуждения I—IV, а именно: поменяйте
местами в каждом из них вторую посылку и заключение,
оставив без изменения первую посылку. Обозначим
эти новые рассуждения через I’ — IV’.
С. Г. Если число а делится на 9, то оно делится
на 3;
число а делится на 3;
следовательно, оно делится на 9.
IT. Если ABCD — квадрат, то он — прямоугольник;
ABCD — прямоугольник;
следовательно, ABCD — квадрат.
ПТ. Если в A ABC угол С — прямой, то
Д ABC — прямоугольный;
A A B C— прямоугольный;
следовательно, в Д ABC угол С — прямой.

IV . Если это — береза, то это — дерево;
это — дерево;
следовательно, это — береза.
Все эти рассуждения кажутся мне неправильными:
число а может делиться на 3 и не делиться
на 9; ABCD может быть прямоугольником, но не
быть квадратом; Д ABC может быть прямоугольным,
а угол С не быть прямым. Это может быть
деревом, но не быть березой, т. е. во всех этих
рассуждениях обе посылки могут быть истинными,
а заключение ложным.
А. Как же можно записать общую схему рас-
суждений Г — IV’?
С. Из P=^Q и Q следует Р. Но это неверно,
так как если P=>Q и Q истинны (1-я и 3-я строки
истинностной таблицы импликации P=>Q), то Р может
быть как истинным (1-я строка), так и ложным
(3-я строка), т. е. возможен случай (3-я строка),
когда обе посылки истинны, а заключение ложно.
Значит, из посылок P=>Q и Q не следует Р.
А. Отлично. Перейдем теперь к выявлению другого
правила вывода.
2. Возьмем в качестве примеров рассуждения,
начинающиеся с тех же посылок, что и I — IV, но
отличающиеся от них вторыми посылками и заключениями.
V. Если число а делится на 9, то оно делится
на 3;
число а не делится на 3;
следовательно, оно не делится на 9.
Постройте еще три рассуждения этой же формы,
используя первые посылки рассуждений II— IV.
С. VI. Если ABCD — квадрат, то он прямоугольник;
ABCD не есть прямоугольник;
следовательно, ABCD не есть квадрат.
VII. Если в а АВС угол С прямой, то а А В С—
прямоугольный;
ААВС не прямоугольный;
следовательно, угол С не прямой.

VIII. Если это — береза, то это — дерево;
но это — не дерево;
следовательно, это — не береза.
А. Правильно. А по какой схеме построены
рассуждения V—VIII?
С. «Из посылок P=>Q и 1Q следует заключение
ՂԲ».
А. Как иначе можно представить это следование?
С. Как следование заключения из конъюнкции
посылок:
(P=>Q) Л
Но это следование имеет место тогда и только тогда,
когда импликация (P=>Q) / \ 1Q=^ I /5— тавтология.
Эта импликация была включена Вами в перечень
тавтологий в конце второй беседы, и я доказал
общезначимость этой импликации с помощью истинностной
таблицы.
А. Очень хорошо. Таким образом, можно считать,
что мы получили еще одно правило вывода:
P= *Q, 1Q
Т Р ‘
Его принято называть Modus tollens («отрицающий
модус») или правилом отрицания (ПО).
А что мы получим, если в рассуждениях V—VIII
поменять местами вторые посылки и заключения?
С. Мы получим неправильные рассуждения, так
как из посылок P=>Q и ~1Р не следует 1Q. Действительно,
есть случай (Р = Л, Q = И), когда обе посылки
истинны, а заключение ложно.
А. Хорошо. Выявим теперь еще одно широко
применяемое правило вывода.
3. Рассмотрим следующие рассуждения:
I. Если a £ N , то а £ Z;
если а £ Z, то а 6 Q;
следовательно, если a ^ N , то а £ Q.
II. Если ABCD — квадрат, то он — прямоугольник;
если ABCD — прямоугольник, то он — параллелограмм

следовательно, если ABCD — квадрат, то
он — параллелограмм.
III. Если это — береза, то это — дерево;
если это — дерево, то это — растение;
следовательно, если это — береза, то это —
растение.
С. Рассуждения I—III построены по одной схеме:
Л=^В, В=>С, t=zA=>C.
А. Совершенно верно. Но как доказать, что это
следование действительно имеет место?
С. Для этого достаточно установить, что импликация
{А=>В) Д (В=>С)=ИЛ =>С) —
тавтология. Я уже это сделал, выполнив Ваше
задание. Это — закон силлогизма.
А. Значит, мы имеем еще одно правило вывода:
А ^ В , В ^ С
А ^ С
называемое правилом силлогизма (ПС).
4. Рассмотрим сейчас рассуждение с одной посылкой:
Если число а делится на 9, то оно делится на 3;
следовательно, если число а не делится на 3, то
оно не делится на 9.
Какова его схема?
С. Рассуждение построено по схеме
A = > B t = l B = * ֊1 A ,
и это следование имеет место тогда и только тогда,
когда импликация (А=^В)=>( «1Б=ф- ~Ь4) — тавтология.
Но это уже доказано Вами, так как установили,
что эквиваленция {А=ь֊В) ~ ( 1Ց=>- ~\А) — тавтология
(закон контрапозиции).
А. Таким образом, мы получили еще одно правило
вывода:
А=>В
1 5 = ^ ՜Լ 4 ’
называемое правилом контрапозиции (ПК)

С. По-видимому, таким же образом можно получить
новые правила вывода на основе и других
законов логики, с которыми Вы ознакомили меня.
А. Например, какие Вы могли бы получить
новые правила вывода?
5.С. На основе закона расширенной контрапозиции
(.А Д В = > С ) ~ ( Л Д Л С = *Л 5 )
можно получить правило вывода
А Д В=>С
А Д 1С=>1В ‘
А. называемое правилом расширенной контрапозиции
(П РК ). Не могли бы Вы привести пример
рассуждения, построенного по такой схеме (в котором
применяется ПРК)?
С. Например:
«Если число а делится на 2 и делится на 3, то оно
делится на 6;
следовательно, если число а делится на 2 и не делится
на 6, то оно не делится на 3».
А. Правильно. Итак, мы уже имеем 5 правил
вывода:
А ^ В , А ( П З )
В
* В , 1 В
Л А
֊ В , В ^ С
А=>С
А ^ В
Ղ B ^Ղ A
А А В ^ С
(ПО)
֊(П С )
(ПК)
(ПРК)
А А ТС=^ЛЙ
Буквы А, В, С в записях этих правил обозначают
любые (элементарные или сложные) высказывания
или высказывательные формы. Но, как видите,
эти правила не затрагивают внутреннюю структуру
элементарных высказываний.

Мы можем, разумеется, получить еще много правил
вывода, но ограничимся лишь несколькими,
наиболее широко применяемыми, которые, возможно,
понадобятся нам в дальнейшем.
6. Мы рассмотрели выше (беседа 2) общезначимую
форму , ч
V * А(х)=>А{у).
С. Значит, имеет место следование V х А(х)
է = А(у), или правило вывода:
V * А{х)
А(у) ‘
А- Верно. Далее, если вместо переменной у,
всюду, где она входит (свободно) в А(у), подставить
какое-нибудь ее значение а (название некоторого
объекта из области интерпретации), то получим
истинное высказывание А(а), так как истинно
V л: А(х). Значит, имеет место также следование
V х А(х) ( = Л(а), или правило вывода
V х А(х)
А(а) ‘
называемое правилом конкретизации (ПКт).
Это правило часто применяется в простейших
доказательствах совместно с правилом заключения.
Рассмотрим в качестве примера следующее
неполное рассуждение: «Число 1845 делится на 5,
так как оно оканчивается цифрой 5», которое обычно
приводится в IV или V классе для обоснования
утверждения «число 1845 делится на 5».
С. Какие же правила вывода лежат в основе
такого обоснования?
Это обоснование можно представить в полной
форме в виде «цепочки» из трех рассуждений
(под «цепочкой» мы понимаем такую последовательность
рассуждений, в каждом из которых, начиная
со второго, в качестве одной из посылок
используется заключение предшествующего рассуждения).
I. Для всякого целого числа х, если х оканчивается
цифрой 5, то х делится на 5;
следовательно, если число у оканчивается
цифрой 5, то оно делится на 5.

II. Если число у оканчивается цифрой 5, то оно
делится на 5;
следовательно, если число 1845 оканчивается
цифрой 5, то оно делится на 5.
III. Если число 1845 оканчивается цифрой 5, то
оно делится на 5;
число 1845 (действительно) оканчивается
цифрой 5;
следовательно, число 1845 делится на 5.
С. В рассуждении III применено ПЗ.
А. А первые два можно представить в виде одного
рассуждения, в котором применяется ПКт:
«Для всякого целого числа х, если х оканчивается
цифрой 5, то оно делится на 5;
следовательно, если число 1845 оканчивается
цифрой 5, то оно делится на 5».
Действительно, если предложение: «Если х оканчивается
цифрой 5, то оно делится на 5», обозначить
через А(х), 1845 — через а, то схема этого рассуждения
запишется так: \/ * А(х) \ = А(а), что
и есть ПКт.
Часто эти два правила (ПКт и ПЗ) объединяются
в одно.
В нашем примере А(х) имеет вид P(x)=>Q(x),
значит, имеем цепочку из двух правил:
V *№)=►<?(*)) f r l v ^ „ P(a)^Q(a), Р(а) ,ПОЛ
P(a)=t~Q(a) ‘ ^ ‘ и Щ (H J ).
которую можно заменить одним правилом
V x(P{x)=>Q(x)), Р(а)
Q(a)
называемым правилом конкретного заключения
(ПКЗ).
С. Значит, можно вместо рассуждений I — III
построить одно рассуждение:
«Для всякого целого числа х, если х оканчивается
цифрой 5, то оно делится на 5;
число 1845 оканчивается цифрой 5;
следовательно, число 1845 делится на 5»,
построенное по правилу конкретного заключения

А. Безусловно.
С. Но Вы еще не доказали, что из двух правил
ПКт и ПЗ получается именно ПКЗ.
Это можно доказать. Рассмотрим следование
V х (P(x)=>Q(x), Р(а) Q(a),
составляющее как раз ПКЗ.
Доказательство этого следования представим
в виде последовательности форм, каждая из которых
либо посылка, либо получается из предшествующих
по одному из двух правил ПКт или ПЗ.
Д о к а з а т е л ь с т в о Ан а л и з
1. V х(Р(х)=^֊Q(x)); 1. посылка;
2. Р{а)=> Q(a); 2. 1, ПКт;
3. Р(а); 3. посылка;
4. Q(a). 4. 2, 3, ПЗ.
Итак, Q(a) получено как следствие из посылок
у x(P(x)=>Q(x)) и Р(а) по ПКт и ПЗ.
С. Теперь ясно, почему два правила, ПКт и
ПЗ, можно заменить одним ПКЗ.
А. Каждое из выявленных до сих пор правил
вывода представляет собой следование.
Имеются и другие правила, допускающие переход
от одних следований к другому.
Рассмотрим два таких правила.
7. Когда мы доказываем какую-нибудь теорему,
имеющую форму импликации (А=$~В), то обычно,
принимая условие А за истинное предложение,
доказываем истинность заключения В.
Это, по существу, означает, что вместо того
чтобы установить следование импликации А=$֊В
из других истинных предложений данной теории
(аксиом, ранее доказанных теорем), совокупность
которых мы обозначим через П, присоединяют
к П условие А теоремы и устанавливают следование
заключения В из совокупности посылок П, А,
т. е.
П, A t = B . (1)
Затем утверждают, что теорема А=>В доказана,
т. е. что имеет место следование
П £ = А ^ В .

Как видно, в этом завершающем доказательство
рассуждении осуществлен переход от следования
(1) к следованию (2), т. е. использовано правило
вывода, которое можно сформулировать так:
Если П, А | = В, то П I= А ^ В .
Это правило называют правилом введения импликации
(ВИ).
С. Но как устанавливается это правило?
А. Это можно сделать довольно просто способом
от противного.
Пусть имеет место следование П, А fc= В , но
не имеет места следование П £ = А=>В. Из последнего
получается, что возможен случай, когда все
посылки из П истинны, а заключение А=>В ложно.
Но в этом случае А истинно и В ложно, а поэтому
не верно, что П, А | = В, что противоречит нашему
допущению. Это противоречие и обосновывает правило
ВИ.
С. По-моему, этим же способом легко доказать
допустимость обратного перехода от (2) к (1), т. е.
правила вывода.
Если П է = А ^ В , то П, А Է= В.
Допустим, что имеет место следование П 1 =
( = и не имеет места П, А В. Последнее
допускает возможность: А истинно и В ложно, а следовательно,
в этом случае А=>В ложно и поэтому
не следует из П, что противоречит условию.
А. Прекрасно. Это правило можно назвать правилом
удаления импликации (импликация из первого
следования, принимаемого за условие, удаляется
в результирующем следовании). Но это правило
является, по существу, другой формой ПЗ.
Рассмотрим еще раз ПЗ: А Է ֊ В.
Если посылки А=>В и А считать следствиями
из некоторой совокупности посылок П, то и заключение
окажется следствием из этих же посылок,
т. е. ПЗ можно представить в несколько ином виде:
Если П !=Л = ^ В и П | = Л , то П|— R.
С Но как это установить?

д. Попробуйте доказать это способом от противного.
С. Пусть П \ = А = > В , П | = А, но П В. Отсюда
следует, что если все посылки из П истинны,
то Л=^В истинно, А истинно, но В может быть
и ложным, что противоречит ПЗ в известной нам
форме (Л=*֊В , A В).
А. Правильно. Можно здесь также воспользоваться
одним совершенно очевидным свойством
следования:
если П I А |, П I А2, …, П I՜ Ап и
А 1, А2, …, Ап ( = В, то П [ = В,
иными словами, если из посылок П следуют
А ь А2, …, Ап, а из Аь А2, …, Ап следует В, то из посылок
П следует В.
С. Это, по-видимому, свойство транзитивности
следования и его можно доказать способом от противного.
А. Совершенно верно. Применим теперь это
свойство следующим образом: пусть П ( = Л=^В
и П А. Так как Л=^В, A է = В (ПЗ), то П \=z В.
С. Но как получить правило удаления импликации
в том виде, в каком оно выше появилось
у нас, т. е. если П Л=*-В, то П, A t = В с помощью
транзитивности следования?
А. С помощью этого свойства из П, А \ = А=>В
и П, Л А, так как по ПЗ А=>В, А I— В. получаем
Y\, А \ = В. Допустим теперь, что П Л=^֊В. Тогда
посылка А в следствии П, А $ = А = > В является
лишней (фиктивной) и может быть опущена. Если
же П А, то П, А ( = А сводится к A f = А
(А следует из самого себя), что тривиально и может
быть опущено.
В результате получаем:
если П (=Л =ф ֊В , то П, A է= В.
С. По-видимому, и другие известные нам правила
вывода могут быть переформулированы так
же, как ПЗ, т. е. можно считать, что и посылки,
и заключение следуют из некоторого множества
П посылок.

А. Верно, и именно в таком виде эти правила
используются в доказательствах.
Хотелось бы обратить Ваше внимание и на то,
что некоторые из уже известных Вам правил вывода
могут быть получены из других так же, как
ПКЗ получено из ПКт и ПЗ, при этом важную роль
играем правило ВИ.
Например, правило контрапозиции (ПК) можно
получить из правила отрицания (ПО) с помощью
ВИ. Действительно, применив к следованию А=^В,
1 В է = ТА, выражающему ПО, правило ВИ,
получим
Л=^В \ = 1 B=>ՂA, т. е. ПК.
Покажем теперь, как получить правило силлогизма
(ПС)
Л=^В, В=^С t=zA=>C
с помощью ПЗ и ВИ.
Вместо доказываемого следования установим
сначала, что
А=>В, В=$~С, А |— С.
Д о к а з а т е л ь с т в о Ан а л и з
1. Л=?֊В ; 1. посылка;
2. А; 2. посылка;
3. В; 3. 1, 2, ПЗ;
4. В=^С; 4. посылка;
5. С; 5. 3, 4, ПЗ;
6. А=>В, В=$*С, А\= -С\ 6. 1—5;
7. А ^ В , В ^ С \ = А = > С . 7. 6, ВИ.
Рассмотрим еще одно правило вывода, широко
применяемое в косвенных доказательствах.
8. Допустим, что нужно доказать истинность
1А или ложность А. Предполагая А истинным,
присоединяем его к совокупности П уже известных
истинных предложений данной теории и из множества
посылок П, А выводим какое-то предложение В и
его отрицание ЛВ, т. е. устанавливаем два следования
П ,Л 1 = В ( 1 ) и П ,Л 1 =Л В . (2)
Но так как из посылок П, Л следует и В, и 1 В, то

следует из этих посылок и их конъюнкция, т. е.
имеет место следование
П , А \ = В / \ Л В (3)
(«если (1) и (2), то (3)» — правило введения
конъюнкции (ВК))- Но В Д ЛВ — противоречие и
всегда ложно. Следовательно, какая-нибудь посылка
из П, А ложна. Но П состоит из истинных предложений.
Значит, А ложно, поэтому 1А истинно,
и это следует из того, что П состоит из истинных
предложений, т. е. П |= 1 у 4 .
Таким образом, мы обосновали следующее
правило вывода:
если П, A i = B и П, Л (= ~Ш , то П ( = “М,
называемое правилом сведения к абсурду (СА).
С. Но при обосновании этого правила Вы пользовались
правилом ВК, которое мы еще не обосновали.
А. Верно. Однако правило введения конъюнкции
в виде
A, B t = A / \ В, или «Если П | = Л и П Ё =В ,
то П | = 4 Л В»
совершенно очевидно и легко устанавливается теми
же способами, какими мы уже пользовались.
С. Следование А, В 1= Л Д В получается, кстати,
непосредственно из определения конъюнкции: А Д В
не может быть ложным, когда А и В оба истинны.
На этом же следовании основана и другая форма ВК:
«Если П|— А и П 1 = В , то П ( = Л Д В » .
Действительно, приняв П 1=Л, П но П££А Д В,
мы должны допустить случай, когда А и В истинны,
но А Д В ложно, что противоречит следованию
А, В \ = А Д В.
А. Очень хорошо.
С. Я уже получил некоторое представление о том,
что из чего следует, на примерах рассмотренных
правил вывода. Но ведь эти правила, по-видимому,
не исчерпывают всех применяемых (неявно) в рассуждениях
и доказательствах правил?

А Мы рассмотрели лишь некоторые простейшие,
но весьма распространенные правила вывода, с
помощью которых, кстати, можно получить и другие
правила. Но всегда можно обойтись некоторым
минимальным набором таких правил. Однако стремление
ограничиваться как можно меньшим числом
правил, т. е. средств логического вывода, может
привести к значительному удлинению доказательства
(имеется в виду его полной формы с выявленной
логикой). Мы не будем стремиться к этому.
Для логического анализа математических доказательств
выявленных нами правил вывода достаточно.
А впрочем, если мы обнаружим, что нам
не хватает какого-то правила, то сможем уже, как
говорят, «на ходу» его обосновать.
С. И сможем ответить на основной вопрос,
как мы доказываем в математике.
А Это и будет темой нашей следующей беседы.
Но перед этим, по уже установившемуся у нас порядку,
предложу Вам некоторые

Упражнения

3.1. Какие схемы рассуждений допустимы (правильны),
т. е. представляют собой правила вывода?
Какие недопустимы? Ответы обосновать.

Придумайте конкретные примеры рассуждений,
построенных по приведенным выше правильным
схемам.
3.2. Под логическим анализом рассуждения будем
понимать: 1) отвлечение схемы рассуждения
от его содержания, 2) запись схемы рассуждения
на языке логики и 3) установление правильности
(или неправильности) этой схемы.
В дальнейшем, для краткости, будем говорить
«анализ рассуждения» вместо «логический анализ
рассуждения».
Проведите анализ следующих рассуждений:
а) Если а делится на 2 и о делится на 3, то а
делится на 6;
но а не делится на 6;
следовательно, а не делится на 2 или а не делится
на 3.
б) Если а делится на 2 и а делится на 3, то а
делится на 6;
а не делится на 6, но делится на 3;
следовательно, а не делится на 2.
в) Если четырехугольник ABCD — параллелограмм
и его диагонали равны, то он прямоугольник;
ABCD не есть прямоугольник;
следовательно, ABCD не параллелограмм и
его диагонали не равны.
г) Если четырехугольник ABCD — параллелограмм
и его диагонали равны, то он прямоугольник;
ABCD не прямоугольник;
следовательно, ABCD не параллелограмм или
его диагонали не равны.
д) Если четырехугольник ABCD — параллелограмм
и его диагонали равны, то он прямоугольник;
ABCD не прямоугольник, но его диагонали
равны;
следовательно, ABCD не параллелограмм.
е) Если четырехугольник ABCD — параллелограмм
и его диагонали равны, то он прямоугольник;
ABCD параллелограмм, но не прямоугольник;
следовательно, его диагонали не равны.

ж) Если A ABC непрямоугольный, то он остроугольный
или тупоугольный;
А ЛВС прямоугольный;
следовательно, Д ABC неостроугольный и нетупоугольный.
з) Если центр окружности лежит на стороне
вписанного угла, то вписанный угол измеряется
половиной дуги, на которую он опирается;
если центр окружности лежит внутри вписанного
угла, то вписанный угол измеряется половиной
дуги, на которую он опирается;
если центр окружности лежит вне вписанного
угла, то вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается;
но центр окружности лежит на стороне, или
внутри, или вне вписанного угла;
следовательно, вписанный угол измеряется
половиной дуги, на которую он опирается.