Геометрия помогает считать
Глава 2.
§ 1. Вступление
Главная страница Метод координат 9-ый класс.
Смотреть оригинал онлайн.
Текст для быстрого ознакомления. Формулы в тексте не отображаются. Можно просто понять общий смысл. Оригинал в хорошем качестве смотрите выше.
1. Немного общих рассуждений
Теперь Вы уже знаете кое-что о методе
координат и мы можем поговорить с Вами
об интересных вещах, больш е связанных
с современной математикой.
А лгебра и геометрия, которые сейчас
большинство ш кольников воспринимают
как совершенно разные науки, на самом
деле очень близки. С помощью метода
координат можно было бы изложить весь
школьный курс геометрии без единого
чертеж а, используя только числа и алгебраические
операции. К урс планиметрии
начинался бы словами: «Назовем точкой
пару чисел (х, у) …» . Д ал ее можно было
бы определить окруж ность как совокупность
точек, удовлетворяю щих уравнению
вида (х — а )г+ ( у — 6)г= Д 2. Прямой
линией назы валась бы совокупность точек,
удовлетворяющих уравнению ах-\-Ьу-{-
+ с = 0 , и т. д. Все геометрические теоремы
превратились бы при этом в некоторые
алгебраические соотношения.
43
В наших следую щих выпусках мы расскажем
подробнее, как это делается.
Установление связи между алгеброй,
с одной стороны, и геометрией, с другой,
было, по существу, революцией в математике.
Оно восстановило математику как
единую науку, в которой нет «китайской
стены» между отдельными ее частями. Создателем
метода координат считают французского
философа и математика Р е н е
Д е к а р т а (1596— 1650). В последней
части большого философского трактата
Д екарта, вышедшей в 1637 году, давались
описание метода координат и его применение
к решению геометрических задач.
Развитие идей Д екарта привело к возникновению
особой ветви математики, которую
теперь называют аналитической геометрией.
Само это название выражает основную
идею теории. Аналитическая геометрия —
это та часть математики, которая решает
геометрические задачи аналитическими
(т. е. алгебраическими) средствами. Хотя
аналитическая геометрия является сейчас
уже вполне развивш имся и законченным
разделом математики, идеи, лежащ ие в ее
основе, породили новые отрасли математики.
Возникла и развивается алгебраическая
геометрия, которая изучает свойства
линий и поверхностей, заданных алгебраическими
уравнениями. Эту часть математики
никак нельзя считать законченной.
К ак раз в последние годы в ней получены
новые фундаментальные результаты, о казавш
ие большое влияние и на другие
разделы математики.
2. Геометрия помогает считать
При решении геометрических задач на
первый план выступает одна сторона метода
кооординат — аналитическое истолкование
геометрических понятий, перевод
44
геометрических образов и соотношений на
язык чисел. Однако другая сторона метода
коорди нат— геометрическая интерпретация
чисел и числовых соотношений —
приобрела не менее важное значение.
Знаменитый математик Г е р м а н
М и н к о в с к и й (1864 — 1909) использовал
геометрический подход для решения
уравнений в целых числах, и математики
его времени были поражены тем,
насколько простыми и ясными оказались
при этом некоторые, казавш иеся раньш е
очень трудными вопросы теории чисел.
Мы разберем здесь один совсем простой
пример, показывающий, как геометрия помогает
решать алгебраические задачи.
З а д а ч а . Рассмотрим неравенство
где п — некоторое целое число. Спрашивается,
сколько решений в целых числах
имеет это неравенство?
Д л я небольших значений п на этот
вопрос легко ответить. Н апример, при
п = 0 есть только одно решение: х = 0 ,
у = 0. П ри п — 1 к этому решению прибавляется
еще четыре: х = 0 , у — 1; х ~ \ ,
у — 0; х = 0, у = — 1 и х — — 1, у = 0.
Значит, при п = 1 всего будет пять решений.
При п = 2 , кроме уже перечисленных,
имеется еще четыре решения: лг= 1, у — 1;
х = — 3, у = 1; х = 1 , у — — 1; л г = — 1,
у = — 1. Всего при п = 2 имеется 9 решений.
П родолж ая таким образом, мы
можем составить таблицу:
45
Мы видим, что число решений N растет
с возрастанием п, но угадать точный закон
изменения N довольно трудно. Можно
предположить, глядя на правую колонку
таблицы, что отношение N jn с возрастанием
п стремится к некоторому числу.
С помощью геометрической интерпретации
мы сейчас покажем, что это действительно
так и что отношение N \п стремится
к известному Вам числу я = 3,14159265…
Будем рассматривать пару чисел (х , у)
как точку на плоскости (с абсциссой х
и ординатой у). Неравенство х г -\-у~
означает, что точка (л;, у) лежит в круге
-х К п радиуса У п с центром в начале координат
(рис. 28). Таким образом,
наше неравенство имеет столько решений
в целых числах, сколько точек с целыми
координатами попадает внутрь круга
к п.
Геометрически очевидно, что точки с целыми
координатами «равномерно распределены
на плоскости» и что на единицу
площади приходится одна точка. Поэтому
ясно, что число решений должно быть
примерно равно площади круга. Таким
образом, мы получаем приближенную формулу:
N я* пп.
Приведем краткое доказательство этой формулы.
Разобьем плоскость на единичные квадратики
прямыми, параллельными осям координат; пусть
целочисленные точки будут вершинами этих квадратиков.
П усть внутри круга К п оказалось N целочисленных
точек. Сопоставим каждой из этихто-
чек единичный квадратик, для которого она сл уж
ит правой верхней верш иной. Ф игуру, образованную
этими квадратиками, обозначим через А п
(рис. 29, фигура А ,, заш трихована). Очевидно, что
площадь А п равна N (т. е. числу составляющих эту
фигуру квадратиков).
Сравним площадь этой фигуры с площадью круга
К п . Вместе с кругом К п рассмотрим еще два круга
с центром в начале координат: круг К п радиуса
Ю Г — / 2 и круг К п радиуса У п — { — У 2. Ф игура А„
46
целиком лежит в круге К п и содерж ит внутри себя
круг /(» . (Д окаж ите это самостоятельно, испол ьзуя
теорему о том,что в треугольнике сторона меньше
суммы двух других сторон.)П оэтом у площадь Ап
больше площади К п и меньше площади К п, т. е.
л( V n — V~2)2 < N < л ( У п + V~2f.
Отсюда мы получаем нашу приближенную ф ормулу
N ^ n t i вместе с оценкой ее погрешности:
|iV—пп\ < 2л (]Л2л+ l).
Теперь поставим аналогичную задачу
для трех неизвестных: сколько целочисленных
решений имеет неравенство
х 2 + у 2 г2 «£ л?
Ответ получается очень быстро, если
опять использовать геометрическую интерпретацию.
Число решений задачи приблизительно
равно объему ш ара радиуса
У л, т. е. *j, ял ]/ л. Получить такой результат
чисто алгебраически было бы трудно.
3. Н ужно вводить четырехмерное
пространство
Но как быть, если нам требуется найти
число целочисленных решений неравенства
x 2+ y 2 + z2 + u 2^ n ,
в котором четыре неизвестных? При решении
этой задачи для двух и трех неизвестных
мы использовали геометрическую
интерпретацию. Решение неравенства
с двумя неизвестными, т. е. пару
чисел, мы рассматривали как точку на
плоскости; решение неравенства с тремя
неизвестными, т. е. тройку чисел, — как
точку в пространстве. Н ельзя ли и д ал ьше
использовать этот прием? Тогда четверку
чисел (х, у, г, и) нужно считать
точкой некоторого пространства, которое
имеет четыре измерения (четырехмерного
пространства). Неравенство х 2 + у 2 +
47
— f z 2 + M*«Sn можно тогда рассматривать
как условие того, что точка (х, у, г, и)
лежит внутри четырехмерного ш ара радиуса
У п с центром в начале координат.
Д алее нужно будет разбить четырехмерное
пространство на четырехмерные кубики.
Н аконец, нам понадобится вычисление
объема четырехмерного ш ара ‘). Иными
словами, мы должны начать развивать
геометрию четырехмерного пространства.
Мы не будем делать всего этого в данном
выпуске. Мы сможем лиш ь немножко
приоткрыть Вам дверь в четырехмерное
пространство и познакомить Вас с простейшей
фигурой в нем — с четырехмерным
кубом.
Вас наверное интересуют вопросы: насколько
серьезно можно говорить об этом
воображаемом четырехмерном пространстве,
насколько можно строить геометрию
этого пространства по аналогии с обычной
геометрией, в чем будет сходство и в чем
различие между трехмерной и четырехмерной
геометрией. И зучая эти вопросы,
математики получили такой ответ:
Д а , такую геометрию развивать можно,
она во многом похожа на обычную. Более
того, она содержит в себе обычную геометрию
как составную часть, подобно тому
как стереометрия (геометрия в пространстве)
содержит в себе планиметрию. Но,
конечно, геометрия четырехмерного пространства
будет иметь и очень существенные
отличия от обычной геометрии. Очень инте4)
В наших выпусках мы не будем заниматься выводом
формулы для вычисления объема четырехмерного
шара. Однако мы ее вам приведем здесь.
я 2/?4 „
Объем четырехмерного шара равен g — . Д ля
сравнения укаж ем ещ е, что объем пятимерного
8я3/?5 я 8/?6
ш ара равен —j-g— , шестимерного —g— , семимерного
г 105
48
ресно об этих особенностях четырехмерного
мира рассказал писатель-фантаст
Герберт У эллс в одном из своих р ассказов.
Но мы покажем сейчас, что эти особенности
по существу очень похожи на те
особенности, которыми отличается геометрия
трехмерного пространства от геометрии
двумерной плоскости.
49
Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
Околоadmin
