Задачи для первого знакомства
Главная страница ЗАОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ
ЗАОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ
Основу книги составляют задачи, предлагавшиеся на Всесоюзных заочных
математических олимпиадах и конкурсах Всесоюзной
заочной математической школы для учащихся 7—10 классов.
Скачать или посмотреть эту книгу онлайн в формате PDF можете на странице
Учебники Скачать.
Ниже можете просто ознакомится с текстовым содержанием книги. Но здесь формулы отображаются не корректно. Если книга вам понравиться, можете скачать её бесплатно по ссылке выше.
1-1. Можно ли в листе бумаги, вырванном из
школьной тетради, прорезать такую дыру, в которую
пролезет взрослый человек?
1-2. В уравнении
(х2 + ‘ . . . ) ( * + l) = (jt4+ l ) ( * + 2)
одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое
число, если известно, что один из корней этого
уравнения равен единице.
а 1-3. Петя тратит 1/3 часть своего времени на зан я тия
в школе, 1 /4—’на игру в футбол, 1/5 — на прослушивание
пластинок, 1/6 — на телевизор, 1/7 — на
решение задач по математике. Можно ли так жить?
v 1-4. Четыре числа попарно сложили и получили
шесть сумм. Известны четыре наименьшие из этих
сумм: 1, 5, 8 и 9. Найдите две остальные суммы и сами
исходные числа.
1-5. Какое наибольшее число воскресений может
быть в году?
1-6. Четыре девочки — Катя, Лена, Маша и Нина —
участвовали в концерте. Они пели песни. Каждую
песню исполняли три девочки. Катя спела 8 песен —•
больше всех, а Лена спела 5 песен — меньше всех.
Сколько песен было спето?
1-7. Три купчихи — Олимпиада, Сосипатра и Полик
сена— пили чай. Если бы Олимпиада выпила на
5 чашек больше, то она выпила бы столько, сколько
две другие вместе. Если бы Сосипатра выпила на
9 чашек больше, то она выпила бы столько, сколько
две другие вместе. Определите, сколько каждая выпила
чашек и у кого какое отчество, если известно,
что Уваровна пила чай вприкуску, количество чашек
чая, выпитых Титовной, кратно трем, а Карповна выпила
11 чашек.
5
1-8. Д ам а сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж,
картину, корзину, картонку и маленькую собачонку.
Диван весил столько же, сколько чемодан и
саквояж вместе, и столько же, сколько картина и картонка
вместе. Картина, корзина и картонка весили ■
поровну, причем каждая из н их— больше, чем собачонка.
Когда выгружали багаж, дама заявила, что
собака не той породы. При проверке оказалось, что
собака перевешивает диван, если к ней на весы добавить
саквояж или чемодан. Докажите, что претензия
дамы была справедлива.
1-S. Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно
из пункта А в пункт В. Проехав треть пути, велосипедист
остановился и поехал дальше лишь тогда,
когда мотоциклисту оставалась треть пути до В. Мо-.
тоциклист, доехав до В , сразу поехал обратно.
Кто приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист
в В?
1-10. Длины катетов прямоугольного треугольника
равны а и Ъ. На его гипотенузе как на стороне во
внешнюю сторону треугольника построен квадрат,:
Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника
до центра квадрата.
1-11. З а весну Обломов похудел на 25 %, затем за
лето прибавил в весе 20 %, за осень похудел на 10 %;,
а за зиму прибавил 20 %. Похудел ли он или поправился
за год?
1-12. Ивана Александровича Хлестакова пригласили
управлять департаментом и в течение трех дней
прислали ему 35 000 курьеров. Если бы в первый день
было прислано вдвое больше курьеров, чем на самом
деле, то общее число курьеров было бы пятой степенью
того числа, на которое в третий день прислали
курьеров больше, чем во второй. Сколько курьеров
присылали каждый день?
1-13. После представления «Ревизора» состоялся
следующий диалог.
Б о б ч и н с к и й : Это вы, Петр Иванович, первый
сказали «Э!». Вы сами так говорили.
Д о б ч и н с к и й : Нет, Петр Иванович, я так не говорил.
Это вы семгу первый заказали. Вы и сказали
«Э!». А у меня зуб во рту со свистом.
Б о б ч и н с к и й : Что я семгу первый заказал, это
верно. И верно, что у вас зуб со свистом, А все-таки
это вы первый сказали «Э!»,
6
Выясните, кто первым сказал «Э!», если известно,
что из девяти произнесенных в этом диалоге фраз-
утверждений четное число верных.
1-14. а ) У стены круглой комнаты диаметром 3 м
на полу сидит кузнечик. Каждый его прыжок имеет
длину 2 м. Он начинает прыгать. В какие точки комнаты
он может при этом попасть?
б) Тот же вопрос, если комната квадратная со
стороной 2 м, а кузнечик вначале сидит в углу.
1-15. Новая шахматная фигура «жираф» ходит
«буквой Г» на четыре клетки в одном направлении и
на пять клеток — в другом. Какое наибольшее число
жирафов можно расставить на шахматной доске так,
чтобы ни один не мог напасть на другого, сколько бы
он ни ходил?
1-16. Четверо ребят — Алеша, Боря, Ваня и Гриш
а— соревновались в беге. На следующий день на
вопрос, кто какое место занял, они ответили так:
Ал еша : Я не был ни первым, ни последним.
Б о р я : Я не был последним.
Ва н я : Я был первым.
Г р иша : Я был последним.
Известно, что три из этих ответов правильные,
а один — неверный. Кто сказал неправду? Кто был
первым?
1-17. Города А и В расположены на реке на расстоянии
10 км друг от друга. На что пароходу потребуется
больше времени: проплыть от Л до В и обратно
или проплыть 20 км по озеру?
1-18. Андрей^ бегает на лыжах быстрее Вити, но
медленнее Жени. Они одновременно побежали по круговой
дорожке из одного места в одном направлении
и остановились в момент, когда были все трое в одном
месте. За это время Женя обогнал Витю 13 раз.
Сколько всего было обгонов?
1-19. Стальную плитку размерами 73X^ 9 см обвели
карандашом на бумаге. Найдите центр полученного
прямоугольника, имея в распоряжении только эту
плитку и карандаш.
1-20. Докажите, что в любой компании найдутся
два человека, имеющие равное число знакомых в этой
компании. (Если А знаком с В, то В знаком с Л.)!
1-21. Последовательность чисел строится по следующему
закону. На первом месте стоит число 7,
7
далее за каждым числом стоит сумма цифр его квад-1
рата, увеличенная на единицу. Так, на втором месте
стоит число 14, так как 72 = 49, а 4 + 9 + 1 — 14. На
третьем месте стоит число 17 и т. д. Какое число стоит
на 1000-м месте?
1-22. В 9 «Г» классе учатся три брата: Алеша,
Леня и Саша. Учитель заметил, что если кто-то из них
получает подряд две четверки или две тройки, то
дальше он учится кое-как и получает тройку; если он
получает подряд две пятерки, то совсем перестает з а ниматься
и получает двойку, а если он получает две
разные оценки, то следующей будет большая из них.
В начале полугодия Алеша получил оценки 4 и 5,
Леня — 3 и 2, Саша — 2 и 4. Какие итоговые оценки
они получат за это полугодие, если учитель выставил
каждому по 30 оценок, а итоговая оценка — ближайшее
целое число к среднему арифметическому полученных
оценок?
1-23. Математик шел домой вверх по течению
ручья со скоростью, в полтора раза большей, чем скорость
течения, и держал в руках шляпу и палку. На
ходу он бросил в ручей шляпу, перепутав ее с палкой.
Вскоре, заметив ошибку, он бросил палку в ручей
и побежал назад со скоростью вдвое большей той,
с какой шел вперед. Догнав плывущую шляпу, он
мгновенно достал ее из воды, повернулся и как ни
в чем ни бывало пошел домой с прежней скоростью.
Через 40 секунд после того, как он догнал шляпу, он
встретил палку, плывущую ему навстречу. Насколько
раньше пришел бы он домой, если бы все время шел
вперед?
1-24. Существует ли такое целое число, которое
при зачеркивании первой цифры уменьшается: а) в
Б7 раз; б) в 58 раз?
1-25. Четверть участников шахматного турнира составляли
гроссмейстеры, остальные были мастера.
Каждые два участника сыграли друг с другом один
раз. З а выигрыш присуждалось очко, за ничью — полочка,
за проигрыш — ноль. Мастера в сумме набрали
в 1,2 раза больше очков, чем гроссмейстеры. Сколько
было мастеров и сколько гроссмейстеров?
1-26. Существует ли четырехугольная пирамида, у
которой две противоположные боковые грани перпен
дикулярны плоскости основания?
8
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
З а д а ч а 1-1. Ответ: можно. Примерный способ
показан на рис. 1. Количество изгибов полоски можно
делать больше или меньше, в зависимости от солидности
того, кто должен пролезать.
——— ——— ——— ———
З а д а ч а 1-2. Ответ: 2.
Чтобы найти стертое число,
достаточно подставить в ————————-
уравнение х = 1 .
З а д а ч а 1-3. Если Петя
может делать несколько _____ 1 _ _ _
дел одновременно, то можно;
если же нет — то нель- рис. i
зя: сумма данных чисел
больше единицы.
З а д а ч а 1-4. Ответ: две остальные суммы равны
12 и 16, а сами числа равны либо (—1), 2, 6 и 10,
либо (—3 /2 ), 5/2, 13/2 и 19/2.
З а д а ч а 1-5. Ответ: 53. Среди любых семи последовательно
идущих дней обязательно встречается
одно воскресенье. Поскольку 365 = 5 2 — 7 + 1, 366 =
= 52-7 + 2, то в любом году получается 52 семерки
дней (недель) и еще остаток— 1 или 2 дня. В каждой
семерке ровно одно воскресенье, а в остатке — одно
или ни одного. Всего получается не более 53 воскресений.
Пример года, когда было 53 воскресенья —
1984-й. Столько же воскресений будет в 1989, 1995,
2000 гг.
З а д а ч а 1-6. Ответ: 9 песен. Если за каждую
песню давать каждой ее исполнительнице по конфете,
то общее число призовых конфет будет кратно трем.
З а д а ч а 1-7. Ответ: Олимпиада Карповна выпила
11 чашек, Сосипатра Титовна — 9 чашек, Поликсена
Уваровна — 7 чашек.
З а д а ч а 1-8. Обозначим массы предметов первыми
буквами их названий: Д — масса дивана, Ч — чемодана,
С — саквояжа,- К — картины (а также корзины
и картонки — они весили поровну), М — маленькой
собачонки. Если претензия дамы несправедлива,
то:
д = Ч + С = 2К, К > М, М + С > Д , М + Ч > Д.
Отсюда М > Ч, М > С, 2К — Ч + С < 2М < 2 К —
противоречие.
9
З а д а ч а 1-9. Ответ: велосипедист приедет раньше.
Поскольку велосипедист проехал треть пути раньше,
чем мотоциклист проехал две трети, то скорость велосипедиста
больше половины скорости мотоциклиста.
З а д а ч а 1-10. Ответ: ( л / 2/2) {а + Ь). Пристроим
извне ко всем сторонам квадрата такие же треугольники,
как данный, таким обра«
зом, чтобы их катеты составляли
а продолжение друг друга — рис. 2*
Катеты этих треугольников обра«
зуют новый квадрат, центр кото*
рого совпадает с центром преж-
^ него. Искомое расстояние равно
половине диагонали нового ква«
драта, откуда следует ответ.
З а д а ч а 1-11. Ответ: поху«
дел. Если в начале весны Обломов
весил М кг, то к концу года он стал весить
0,75-1,2-0,9- 1,2ЛГ — 0,972М кг.
З а д а ч а 1-12. Ответ: 24049, 5471, 5480 курьеров
в первый, второй и третий дни соответственно. Единственная
пятая степень целого числа, заключенная в
промежутке от 35 ООО до 70 000, — это 95.
З а д а ч а 1-13. Ответ: Бобчинский. Вычеркивая
два равносильных утверждения, мы не меняем четности
числа верных среди оставшихся, а вычеркивая два
противоположных утверждения, мы меняем четность.
З а д а ч а 1-14. а ) Ответ: все точки кольца с внутренним
диаметром 1 м и внешним 3 м (на рис. 3,а
это кольцо заштриховано). Ясно, что кузнечик не может
приблизиться к центру комнаты ближе чем на
полметра. Чтобы показать, что кузнечик может по10
10
пасть в любую точку указанного кольца, надо сначала
показать, что он может попасть в любую точку
у стены.
б) Ответ см. на рис. 3,6, где заштриховано искомое
множество точек. Оно представляет собой всю
комнату, за исключением пересечения четырех кругов
радиуса 2 м с центрами в углах комнаты.
З а д а ч а 1-15. Ответ: 16 жирафов. На рис. 4 показано,
как можно расставить 8 жирафов: каждого
из них можно поставить в любую клетку, на которой
стоит его номер. Остальных 8 жирафов можно расставить
симметрично первым восьми.
З а д а ч а 1-16. Ответ: неправду сказал Ваня; первым
был Боря. Если предположить, что неправду ска-
вал Алеша, то получится, что он был первым или последним,
но тогда неправду сказал еще либо Ваня,
либо Гриша, а это противоречит условию — неправду
сказал только один из мальчиков. Аналогично рассматриваются
и все другие возможности.
З а д а ч а 1-17. Ответ: больше времени требуется
ра путь по реке. Пусть скорость парохода равна и,
скорость течения v. Если и ^ v, то пароход вообще не
выплывет против течения, если же и > v > 0, то решение
сводится к доказательству неравенства
ю , 10 20
и + v ‘ и — v ^ и ‘
11
З а д а ч а 1-18. Ответ: 25. Те 13 моментов времени,
когда Женя обгонял Витю, разбивают все время движения
на 14 промежутков, и за каждый промежуток
Женя опережал Витю ровно на один круг. Значит,
Женя сделал на 14 кругов больше Вити. Пусть Андрей
сделал на k кругов больше Вити. По условию
О < k < 14. Рассуждая аналогично, получаем, что
Андрей обогнал Витю k — 1 раз. Но Андрей сделал
на 14 — k кругов меньше Жени, и поэтому Женя обогнал
его 13 — k раз. Всего произошло 13 + (&— 1) +
+ (13 — &) = 25 обгонов.
З а д а ч а 1-19. На каждой из больших сторон прямоугольника
отложим от концов по 19 см. Получим
прямоугольник 35X19, име-
ющий общий центр с исход-
13 ным, а в нем мы уже смо^
жем провести диагонали,
которые пересекаются в
73 центре — см. рис. 5.
Рис. 5 З а д а ч а 1-20. Пусть в
компании k человек. Тогда
каждый из них имеет в этой компании не меньше
нуля и не больше k — 1 знакомых. Если предположить,
что количества знакомых у всех людей различны,
то получится противоречие. .Действительно, тогда
один имеет нуль знакомых, второй — одного, третий —
двух и т. д., наконец, последний имеет k — 1 знакомых.
Но это значит, что последний знаком со всеми,
в частности, с первым, а тот ведь не был знаком ни
с кем!
З а д а ч а 1-21. Ответ: 11. Вычислим несколько
первых членов данной последовательности:
7; 14; 17; 20; 5; 8, 11; 5; . . .
Пятерка повторилась, значит, дальше будет период,
состоящий из трех чисел: 5, 8, 11.
З а д а ч а 1-22. Ответ: Алеша и Саша получат
оценки 4, а Леня — оценку 3. Начиная выписывать
оценки каждого из ребят, обнаруживаем, что с некорого
момента они периодически повторяются. Это схематически
изображено на рис. 6. Подсчитав средние
значения оценок, получаем ответ.
З а д а ч а 1-23. Ответ: на две с половиной минуты.
Пусть математик бежал назад t секунд. Тогда палка
плыла назад г + 40 секунд. Обозначим скорость течения
v. Тогда скорость ходьбы равна l,5v, бега — Зу.
12
Расстояние, которое он бежал назад, равно расстоянию,
которое плыла палка до встречи с ним, плюс
расстояние, которое он шел вперед, выловив шляпу,
до встречи с палкой:
За/ = 1,5 v • 40 + v (t + 40),
откуда t = 50 секунд. Время, которое он потерял, равно
50 секунд плюс время, которое ему потребовалось,
чтобы пройти то же расстояние,
а оно вдвое больше.
Всегб получается Aneuia
50 + 50 • 2 =« 150 секунд.
З а д а ч а 1-24. Ответ:
а) существует, например д еня
7125; б) не существует.
Обозначим через х з а черкиваемую
цифру, через
k—количество осталь- Саша
ных цифр, через у — число,
остающееся после з а черкивания.
Тогда х- 10ft+
+ у = 58г/, откуда x-10ft = 57у. В последнем равенстве
правая часть содержит простой множитель 19,
которого левая часть содержать $
не может.
З а д а ч а 1-25. Ответ: 9 мастеров
и 3 гроссмейстера. Если
п — число участников матча, то
я (и — 1) ^
2 общее количество очков
в этом матче.
З а д а ч а 1-26. Ответ: существует.
Пример такой пирамиды
приведен на рис. 7. Она по- д
строена следующим образом. Берется
треугольная пирамида
SABC, у которой боковое ребро рис. 7
5Л перпендикулярно плоскости
основания. Ее боковые грани S^4C и SAB перпендикулярны
основанию (как плоскости, проходящие через
йерпендикуляр Л 5 к основанию). Возьмем теперь произвольные
точки М и N на сторонах АС и АВ основания
соответственно. Пирамида SMNBC удовлетворяет
условию задачи.
13
#Математика #математические_олимпиады