дома » Занимательная Математика » Завещания на сотни лет

Завещания на сотни лет

Завещания на сотни лет.

Сборник Математики

ГЛАВА IX  СЕДЬМОЕ  МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  ДЕЙСТВИЕ.

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман  ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ СТЕРЕОТИПНОЕ. Под редакцией и с дополнениями В. Г. Болтянского  

 Скачать 11-ое издание ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман в формате PDF в хорошем качестве, но без возможности капирования на Главной странице ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман.

Текст просто для быстрого ознакомления с темой в общих чертах (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):


Кто не слыхал о том легендарном числе пшенич-
ных зерен, какое будто бы потребовал себе в награду
изобретатель шахматной игры? Число это составля-
лось путем последовательного удвоения единицы: за
первое поле шахматной доски изобретатель потребо-
вал 1 зерно, за второе 2 и т. д., все удваивая, до по-
следнего, 64-го поля.
Однако с неожиданной стремительностью числа
растут не только при последовательном удвоении, но
и при гораздо более умеренной норме увеличения.
Капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно
в 1,05 раза. Как будто не столь заметно возрастание.
А между тем по прошествии достаточного промежут-
ка времени капитал успевает вырасти в огромную

193 Завещания на сотни лет 

сумму. Этим объясняется поражающее увеличение ка-
питалов, завещанных на весьма долгий срок. Кажется
странным, что, оставляя довольно скромную сумму,
завещатель делает распоряжения об уплате огромных
капиталов. Известно завещание знаменитого амери-
канского государственного деятеля Веньямина Фран-<
клина. Оно опубликовано в «Собрании разных сочи-
нений Веньямина Франклина». Вот извлечение из
него:
«Препоручаю тысячу фунтов стерлингов бостон-
ским жителям. Если они п_ имут эту тысячу фунтов,
то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а
они будут давать их с процентами, по 5 на сто в год,
в заем молодым ремесленникам •). Сумма эта через
сто лет возвысится до 131 000 фунтов стерлингов. Я
желаю, чтобы тогда 100 000 фунтов употреблены бы-
ли на постройку общественных зданий, остальные же
31000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет.
По истечении второго столетия сумма возрастет до
,4 061000 фунтов стерлингов, из коих 1060 000 фунтоп
оставляю в распоряжении бостонских жителей, а
3 000000 — правлению Массачузетской общины. Да-
лее не осмеливаюсь простирать своих видов».
Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распреде-
ляет миллионы. Здесь нет, однако, никакого недоразу-
мения. Математический расчет удостоверяет, что со-
ображения завещателя вполне реальны. 1000 фунтов,
увеличиваясь ежегодно в 1,05 раза, через 100 лет
должны превратиться в
х=1000-1,05100 фунтов.
Это выражение можно вычислить с помощью ло-
гарифмов
lg *=lg 1000+ 100 lg 1,05 = 5,11893,
откуда
х= 131 000
в согласии с текстом завещания. Далее, 31 000 фун^
тов в течение следующего столетия превратятся в
у=31 000- 1,05100,
1) В Америке в ту эпоху еще не было кредитных учреждений.

194 Завещания на сотни лет 

откуда, вычисляя с помощью логарифмов, находим:
#=4 076 500
— сумму, несущественно отличающуюся от указанной
в завещании.
Предоставляю читателю самостоятельно решить
следующую задачу, почерпнутую из «Господ Головле-
вых» Салтыкова:
«Порфирий Владимирович сидит у себя в кабине-
те, исписывая цифирными выкладками листы бумаги.
На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у
него теперь денег, если бы маменька подаренные ему
при рождении дедушкой на зубок сто рублей не при-
своила себе, а положила в ломбард на имя малолет-
него Порфирия? Выходит, однако, немного: всего во-
семьсот рублей».
Предполагая, что Порфирию в момент расчета
было 50 лет, и сделав допущение, что он произвел
вычисление правильно (допущение маловероятное,
так как едва ли Головлев знал логарифмы и справ-
лялся со сложными процентами), требуется устано-
вить, по скольку процентов платил в то время лом-
бард.

Непрерывный рост капитала

В сберкассах процентные деньги присоединяются
к основному капиталу ежегодно. Если присоединение
совершается чаще, то капитал растет быстрее, так
как в образовании процентов участвует большая сум-
ма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный
пример. Пусть в сберкассу положено 100 руб. из 100%
годовых. Если процентные деньги будут присоедине-
ны к основному капиталу лишь по истечении года, то
к этому сроку 100 руб. превратятся в 200 руб. По-
смотрим теперь, во что превратятся 100 рублей, если
процентные деньги присоединять к основному капи-
талу каждые полгода. По истечении полугодия 100 руб.
вырастут в
100 руб.- 1,5=150 руб. .
А еще через полгода — в
150 руб.-1,5 = 225 руб.

195 Завещания на сотни лет 

истечении года 100 руб. превратятся в
100 руб. • (l Ij3»237 руб. 03 коп.
Будем учащать сроки присоединения процентных
денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т. д.
Тогда из 100 руб. спустя год получится:
100 руб. • 1,110 «259 руб. 37 коп.
100 руб. • 1,01100 »270 руб. 48 коп.
100 руб. • 1,0011000« 271 руб. 69 коп.
Методами высшей математики доказывается, что
при безграничном сокращении сроков присоединения
наращенный капитал не растет беспредельно, а при-
ближается к некоторому пределу, равному приблизи-
тельно •)
271 руб. 83 коп.
Больше чем в 2,7183 раза капитал, положенный из
100%, увеличиться не может, даже если бы нарос-
шие проценты присоединялись к капиталу каждую
секунду.
Число „е»
Полученное число 2,718…, играющее в высшей
математике огромную роль, — не меньшую, пожалуй,
чем знаменитое число я, — имеет особое обозначе-
ние: е. Это — число иррациональное: оно не может
быть точно выражено конечным числом цифр2), но
вычисляется только приближенно, с любой степенью
точности, с помощью следующего ряда:
1 +Т + ТГ2+ 1-2-3+ 1-2-3-4+1-2.3-4.5 + *- *
Из приведенного выше примера с ростом капита-
ла по сложным процентам легко видеть, что число е
‘) Дробные доли копейки мы отбросили.
2) Кроме того, оно, как и число я, трансцендентно, т. е. не
может получиться в результате решения какого бы то ни было
алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

196 Завещания на сотни лет 

есть предел выражения
(.+¦
при беспредельном возрастании п.
По многим причинам, которых мы здесь изложить
не можем, число е очень целесообразно принять за
основание системы логарифмов. Такие таблицы («на-
туральных логарифмов») существуют и находят себе
широкое применение в науке и технике. Те логариф-
мы-исполины из 48, из 61, из 102 и из 260 цифр, о ко-
торых мы говорили ранее, имеют основанием именно
число е.
Число е появляется нередко там, где его вовсе не
ожидали. Поставим себе, например, такую задачу:
На какие части надо разбить данное число а,что-
бы произведение всех частей было наибольшее?
Мы уже знаем, что наибольшее произведение при
постоянной сумме дают числа тогда, когда они равны
между собой. Ясно, что число а надо разбить на рав-
ные части. Но на сколько именно равных частей? На
две, на три, на десять? Приемами высшей математи-
ки можно установить, что наибольшее произведение
получается, когда части возможно ближе к числу е.
Например, 10 надо разбить на такое число равных
частей, чтобы части были возможно ближе к 2,718..,
Для этого надо найти частное
10 =3,678…
2,718…
Так как разделить на 3,678… равных частей нель-
зя, то приходится выбрать делителем ближайшее це-
лое число 4. Мы получим, следовательно, наибольшее
произведение частей 10, если эти части равны-j-,
т. е. 2,5.
Значит,
B,5)*=39,0625
есть самое большое число, какое может получиться
от перемножения одинаковых частей числа 10
Действительно, разделив 10 на 3 или на 5 paBHbiv

197 Завещания на сотни лет 

частей, мы получим меньшие произведения!
Число 20 надо для получения наибольшего произ-
ведения его частей разбить на 7 одинаковых частей,
потому что
20: 2,718… = 7,36^7.
Число 50 надо разбить на 18 частей, а 100 — на 37,
потому что
50: 2,718… = 18,4,
100: 2,718… = 36,8.
Число е играет огромную роль в математике, фи-
зике, астрономии и других науках. Вот некоторые во-
просы, при математическом рассмотрении которых
приходится пользоваться этим числом (список можно
было бы увеличивать неограниченно):
Барометрическая формула (уменьшение давления
с высотой),
Формула Эйлера •).
Закон охлаждения тел,
Радиоактивный распад и возраст Земли,
Колебания маятника в воздухе,
Формула Циолковского для скорости ракеты2),
Колебательные явления в радиоконтуре,
Рост клеток.

Логарифмическая комедия

ЗАДАЧА
В добавление к тем математическим комедиям, с
которыми читатель познакомился в главе V, приве-
дем еще образчик того же рода, а именно «доказа-
тельство» неравенства 2>3. На этот раз в доказа-
тельстве участвует логарифмирование. «Комедия»
‘) О ней см. ст. «Жюль-верновский силач и формула Эй-
лера» во 2-й книге моей «Занимательной физики».
2) См. мою книгу «Межпланетные путешествия».

198 Логарифмическая комедия

начинается с неравенства
4 > 8 ‘
бесспорно правильного. Затем следует преобразование!
также не внушающее сомнения. Большему числу со-
ответствует больший логарифм, значит,
После сокращения на ‘e’lol’o») имеем: 2>3. В чем
ошибка этого доказательства?
РЕШЕНИЕ
Ошибка в том, ^то при сокращении на ‘биму)
не был изменен знак неравенства (> на <); между
тем необходимо было это сделать, так как ‘gioro»
есть число отрицательное. [Если бы мы логарифмиро
вали при основании не 10, а другом, меньшем чем
-к-, то lgl-g-mbMi бы положителен, но мы не вправе
были бы тогда утверждать, что большему числу соот*
ветствует больший логарифм.]

Любое число —тремя двойками
ЗАДАЧА
Закончим книгу остроумной алгебраической голо-
воломкой, которой развлекались участники одного
съезда физиков в Одессе. Предлагается задача: лю-
бое данное число, целое и положительное, изобразить
с помощью трех двоек и математических символов.
РЕШЕНИЕ
Покажем, как задача решается, сначала на част-
ном примере. Пусть данное число 3. Тогда задача ре-
шается так: 3 = — lg2 Ig2~l/ у У 2.

199  Логарифмическая комедия

равенства. Действительно,
Если бы дано было число 5, мы разрешили бы за-
дачу тем же приемом:
Как видим, мы используем здесь то, что при квад-
ратном радикале показатель корня не пишется.
Общее решение задачи таково. Если данное чис-
ло N, то
N раз
причем число радикалов равно числу единиц в задан-
ном числе.

200 Логарифмическая комедия

Школьная математика.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика